算法导论——InversionNumbers

         这是算法导论第二章后面的思考题，问题描述：设A[1..n]是一个包含n个不同数的数组。如果在i<j的情况下，有A[i]>A[j]，则（i,j）就称为A的一个逆序对（inversion）。例如 ( 2,3,8,6,1 ) 中包含5个逆序：(1,5),(2,5),(3,5),(3,4),(4,5).

        现在要求给出一个算法，能够用O(nlgn)的最坏情况运行时间，确定n个元素的任何排列中逆序对的数目。（提示：修改归并排序）

          由给出的提示，以及给出的时间复杂度O（nlgn）的要求，可以想到分治的策略。进一步可以由主定理猜测，递归式为T(n)=2T(n/2)+O(n)。其中T(n/2)表示子问题的规模，O(n)是合并子问题的开销。

        和归并排序是一个框架，大致如下：

        （1）将数组A分成两个子数组；

        （2）分别求两个子数组中的逆序；

        （3）将子数组合并起来，求整体的逆序；

         要注意的是，在第二步求子数组逆序时，两个数组之间的逆序没有考虑，这需要在合并的时候进行处理。若子数组left中的第i个大于子数组right中的第j个，这两个数构成一个逆序。合并子数组时，子数组已经排好序，可知left中下标大于i的元素都大于right[j]。

         由归并操作的流程，涉及left[i]和right[j]的归并操作有且只有一次。合并之后，将按照升序一同出现在后续操作的同一个子数组中。因此，每次遇到left[i]>right[j]的时候，要将left[i]之后元素和right[j]构成的逆序一起进行统计。

       代码如下：

public class CountInversion {

	static int countInver(int[] a,int l,int r)
	{
		int inversion=0;
		if(l<r){
			int mid=(l+r)/2;
			inversion+=countInver(a,l,mid);
			inversion+=countInver(a,mid+1,r);
			inversion+=mergeInver(a,l,mid,r);
		}
		return inversion;
	}
		
	static int mergeInver(int[] a,int l,int mid,int r)
	{
		int n1=mid-l+1;
		int n2=r-mid;
		int[] left=new int[n1];
		int[] right=new int[n2];
		for(int i=0;i<n1;i++)
			left[i]=a[l+i];
		for(int j=0;j<n2;j++)
			right[j]=a[mid+1+j];
		
		int inversion=0;
		
		int i=0,j=0,k=l;
		while(i<n1&&j<n2)
		{
			
			if(left[i]<right[j])
			{
				a[k++]=left[i++];
			}
			else
			if(left[i]>right[j])
			{
				inversion+=n1-i;    //[i~n1-1]的元素都大于right[j]
				a[k++]=right[j++];
			}
			else
			{
				a[k++]=right[j++];
				a[k++]=left[i++];
			}
		}
		while(i<n1)
			a[k++]=left[i++];
		while(j<n2)
			a[k++]=right[j++];
		return  inversion;
	}
	public static void main(String[] args)
	{
			int[] test1=new int[]{1,2,3,4,5,6,7};
			int[] test2=new int[]{6,5,4,3,2,1,0};
			int[] test3=new int[]{5,6,4,3,7,1,2};
			int ans1=countInver(test1,0,test1.length-1);
			int ans2=countInver(test2,0,test2.length-1);
			int ans3=countInver(test3,0,test3.length-1);
			System.out.println(ans1);
			System.out.println(ans2);
			System.out.println(ans3);
	}
}