m位二进制数,1个数不超过n,字典序排下第i个数

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#1个数不超过n #m位二进制数 #字典序 #微策略 #第i个数

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本文探讨了一种高效算法，用于生成指定m位二进制数中1的个数不超过n的第i个数。通过采用二叉树方式、生成排列和优化搜索过程，实现线性复杂度生成目标数。重点介绍了算法的复杂度分析及其实现细节。

题目：给定m位字符串数组S，由0和1组成，要求m位中1的个数不超过n，然后找到字典序的第i个数。如：如 m=4 n=2 即1的个数不超过2个 0111就不行，如果找第i=8个从0000 0001 …… 0110 1000 。第八个就是1000 。写一个函数，输入m，n，i返回那个数。

思路1：

m=4，n=2，i=8，按正常的方法来讲是16中方法，晒去不合格的，即1的数量超过2的，那么还剩下11个，因此取第8个为1000：0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、1000、1001、1010、1100。m=4的情况，则数的大小应该是在0~2^4-1之间，可以判断该数的二进制中1的个数，那这个方法的复杂度是：O(2^n)。

思路2：

采用二叉树的方式，这种方法主要耗费的时间在根据规则创建合法的二叉树上，当到达一个节点时，此时字符串中已经包含的1的个数为k，如果k<n，那么该节点的子节点就有两种选择，0或者1，如果k=n，则只有一个选择，后边的所有元素只能为0，这样最后数叶节点那一层，数第i个就可以了。

思路3：生成排列，首先按照1的思路，对于二进制数的递增序列，其实就是所代表的十进制数的递增序列，而递增都是从最后一位开始增长的。比如：0000->0001->0010。对于这样的序列，要实现递增通常有两种操作：

1)如果末位是0，那么将0变成1，这里1的个数是增加的；2）如果末位是1，那么将1变成0，然后实现进位操作，操作过程中1的个数不变。

对于0011，按照2）操作，变成了0110，实现了递增。因此通过1）和2）两种操作，能实现构造字典序的含指定个数1的01字符。2）的操作会遇到一种特殊情况，比如从0110下一个就是0111，1的个数已经超了，在下一个1000是合法的，那么如何直接从0110构造1000呢？需要对2）操作进行修改，在1的个数等于n的情况下，“末位”指从右往左第一个非零位，因此0110通过2）操作变成了1000 。将算法的伪代码描述如下：

bit[],m,n,i
permutation{
    k,j,num,h,last=m-1
    for(k=1;k<i;){
        num = ones_num(bit,m);
        if(num<n){
                if(bit[last]==0)
                    1)操作
                else
                    2)操作
        }else{
                j=m-1;
                while(j>=0 && bit[j]==0)
                    j--;
                h = j;
                while(h>=0&&bit[h]==1)
                    h--;
                if(h<0)
                    break;
                else if(bit[h]==0){
                    2)操作
                }
            }
    }
}

贴出C++代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define M 10
int bit[M];

int ones_num(int arr[],int len){
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<len;i++)
        cnt += arr[i];
    return cnt;
}

void permutation(int m,int n,int i){
    memset(bit,0,sizeof(bit));
    int k,j,num,h;
    for(k=1;k<i;){
        num = ones_num(bit,m);
        if(num<n){
                if(bit[m-1]==0){
                    bit[m-1] = 1;
                    k++;
                }else{
                    bit[m-1] = 0;
                    j = m-2;
                    while(j>=0&&bit[j]==1){
                        bit[j] = 0;
                        j--;
                    }
                    if(j>=0&&bit[j]==0){
                        bit[j] = 1;
                        k++;
                    }
                }
        }else if(num==n){
                j=m-1;
                while(j>=0 && bit[j]==0)
                    j--;
                h = j;
                while(h>=0&&bit[h]==1)
                    h--;
                if(h<0)
                    break;
                else if(bit[h]==0){
                    bit[j] = 0;
                    j--;
                    while(j>h){
                        bit[j] = 0;
                        j--;
                    }
                    bit[h] = 1;
                    k++;
                }
            }
    }
    for(j=0;j<m;j++)
        cout << bit[j]<< " ";
}


int main(){
    permutation(4,2,9);
    return 0;
}

这种生成排列的方法的关键之处就如0110的下一个排列使1000之处，能够省去中间大量的使1的总个数超过1的情况，时间复杂度为线性的。