给定一个正整数n，将其分成m段，每段为n1，n2，...，nm，求怎么划分使得n1*n2*...*nm最大

题目：自然数N分解为n个自然数的和，求这n个数的乘积最大值

分析：最优问题，可以用动态规划求解

1、描述最优解结构

    N = a1 + a2 + ... + an；

    M = a1 * a2 * ... * an；

求M的最大值

    考虑到N = a + b，而a与b又可以分解为另外几个和为a或b的数的积，因此对于确定的N = a + b，有一个最优解M(N) = M(a)*M(N-a)。而a又有1到N/2种取值，所以有一般最优解M(N) = max｛M(a) + M(N - a)｝（a < N/2）。而对于1、2、3、4、5等的M值列一个表，就可以得到N<=4时，M(N) = N。于是有下列递归定义。

2、递归定义最优解

   

 

3、按自底向上的方式计算最优解

源码：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <math.h>

using namespace std;

#define SIZE 1000

unsigned long m[SIZE], t[SIZE];  
//m[i]存放和为i的数的乘积最大值，t[i]存放使m[i]为最大时，将i划分为2部分的j的值，即m[i]=m[j]*m[i-j]最大时j的值

void mt(int a)
{
	int i, j;
	for (i = 0; i < SIZE; i++)   //m、t初始化
	{
		m[i] = i;
		t[i] = i;
	}
	for (i = 4; i <= a; i++)         //按自底向上来得到m与t的值
	{
		for (j = 2; j <= i/2; j++)
		{
			if (m[i]  <= m[j] * m[i - j])
			{
				m[i] = m[j] * m[i - j];
				t[i] = j;
			}
		}	
	}
}

void printt(int a)       //打印和为a，积最大的所有数
{
	int k;
	k = t[a];             //k为a的第一次分解值
	if (k == t[k])      //不能再分的时候，输出k
	{
		cout<<k;		
	}
	else            //继续分解，打印出和为k，积最大的所有数
	{
		printt(k);
	} 

	if(a - k > 0)        //打印出和为a - k，积最大的所有数
	{ 
		cout<<" * ";
		printt(a - k);
	}
}

void main()
{
	int n;
	cout<<"input a number(<= 62) ";    //输入小于62的数。由于unsigned long只能表示到2的31次方，只能存储小于62的M值
	cin>>n;
	mt(n);                        //计算m和t
	cout<<m[n]<<" = ";
	printt(n);                        //打印
	cout<<endl;
}