最短Hamilton路径(CH0103)

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划解决Hamilton路径问题的方法，该问题是在带权无向图中寻找从起点到终点的最短路径，使得每个顶点恰好经过一次。通过将点的经过状态编码为二进制数，可以将时间复杂度从O(n*n!)优化到O(n^2*2^n)，并给出具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定一张n(n<=20)个点的带权无向图，点从0~n-1标号，求起点0到终点n-1的最短Hamilton路径。Hamilton路径定义为每个顶点正好经过一次的路径。

题解：枚举所有情况的时间复杂度是O(n*n!),使用二进制状态压缩DP可以优化到O（n²*2ⁿ）
用一个数组f[i][j]维护当i（0<=i<2ⁿ）表示"点是否被经过的状态"对应的二进制数，且目前处于点j（0<=j<n）时的最短路径。计算一下发现这个数组是最大2²⁰*20=20971520，是可以开的下的。

#include<iostream> 
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
int a[20][20];
int f[1<<20][20];
int hamilton(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));//memset只能赋特定的值
	f[1][0]=0;
	for(int i=1;i<1<<n;i ++)
		for(int j=0;j<n;j++) 
			if(i>>j&1)//第i种状态是否经过了节点j
				for(int k=0;k<n;k++) 
					if((i^(1<<j))>>k&1)
						f[i][j] = min(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+a[k][j]);
	return f[(1<<n)-1][n-1];
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<=n-1;i++)
		for(int j=0;j<=n-1;j++)
			cin>>a[i][j];
	int ans=hamilton();
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}