梯度、散度、旋度

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梯度是个向量

或表示为

散度是个标量

设有一个向量场

通量可写为

则散度

并有运算关系式

旋度是个向量

rotA或curlA

或可以写成

例如求F沿路径r做的功

矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流

说明：哈密顿算符∇ ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,∇dotA点乘函数（矢量）表示散度，∇XA叉乘函数（矢量）表旋度。


散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。

散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式


梯度物理意义：最大方向导数（速度）

散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。

旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。

　
附：

散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）

若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

详解散度、旋度（二维、三维）
一个搬运知识的笨小孩
12-25 3万+
散度、旋度的计算 笔记来源：Khancademy/MultiVariableDerivatives/curl-grant-video 1. 二维散度的计算 二维向量场例子 假设二维平面中的每个点为每个粒子，粒子会沿着向量场的方向移动 在某坐标点附近区域中我们观察粒子通过该区域粒子的数量变化 1.1 散度等于0 某坐标点附近的粒子，进入该区域的粒子数量等于离开该区域的粒子数量，所以它的散度=0=0=0 1.2 散度大于0 二维向量场例子 坐标原点附近的粒子，由坐标原点向外发散，这个区域内的粒子减少（都发
梯度、散度与旋度
thehunters的专栏
05-16 1963
1. 哈密尔顿算子： ，是对某一物理量在三个坐标方向的偏导数的矢量和的操作，定义如下： 2. 梯度（Gradient） 当作用于标量时即可得到该标量在空间中的梯度.梯度是多元函数的一次偏导的矢量和，表示函数的变化方向及其大小，具体定义如下： 3. 散度（Divergence） 根据矢量点乘的运算规则，与一个矢量的点乘是一个标量，它代表了矢量场的散度： 3.拉普拉斯算子 4. 旋度（curl） 旋度是由与矢量的叉乘得到，它的运算结果是一个矢量，代表了矢量做...
散度、旋度、梯度释义(图解版)
08-28
本书着重介绍了散度，梯度，旋度以及与之相关的矢量微积分，并使用图形的方式直观的理解他们的定义以及性质，书中例子多采用，电子，工程领域的实例。可为广大工程技术人员提供相关的参考。全书结合图形与实例以便读者更容易理解。
梯度(gradient)、散度(divergence)与旋度(rotation)
weixin_60737527的博客
08-29 2万+
梯度、散度与旋度相关概念
电磁场与电磁波篇---梯度&散度&旋度
最新发布
道阻且长，行则将至。
06-15 787
梯度、散度和旋度是向量分析中的三大基本算子。梯度描述标量场的最大变化方向和速率（∇f）；散度衡量向量场的发散或汇聚程度（∇·F）；旋度反映向量场的旋转特性（∇×F）。它们满足关键恒等式：∇×(∇f)=0，∇·(∇×F)=0。在物理应用中，梯度用于热传导和优化算法，散度应用于流体力学和电磁学，旋度则用于描述涡旋和电磁现象。高斯定理和斯托克斯定理分别建立了散度和旋度的积分关系。这些概念为理解自然现象和建立物理模型提供了重要工具。
旋度和散度
roymustang的博客
04-01 2万+
文章目录1概念1.1散度1.2旋度2旋度散度应用3如何计算旋度和散度3.1 散度3.2旋度 1概念 1.1散度 如上图这个向量场，假设向量代表个点的速度，这种流体满足一种非常奇怪的非物理特性，在如下图的点，流体似乎在虚无中向外抛射出流体。其他点则像有流体流入。 散度所告诉你的正式，向外发射或向内吸收的程度，例如之前像源一样的点的散度为1 且让所有点从一点像外并非唯一的让散度为正的的情况。，...
试论梯度 散度 旋度及其物理模型.pdf
08-02
在具体的物理模型应用中，例如在气象学中，可以用梯度表示风速的方向和大小，散度表示大气压力场中气压变化的速率，而旋度则用来描述气旋或反气旋的旋转。在电磁学中，电场和磁场的特性也可以用梯度和旋度来描述，...
梯度散度旋度表达式的推导.ppt
09-16
"梯度散度旋度表达式的推导" 梯度散度旋度表达式是数学和物理学中常用的概念，它们在描述场的性质和变化中扮演着重要的角色。下面我们将对梯度、散度和旋度进行详细的推导和解释。 1. 梯度 梯度是标量场的导数，...
梯度散度旋度表达式推导.ppt
09-16
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洞烛幽微系列 之 梯度 散度 旋度
njuese的博客
09-20 1112
“洞烛幽微”系列的第一篇，就探究一些梯度、散度、旋度的相关问题，这部分知识出现在了《电磁场理论与微波技术》的第一章。
【前置知识】散度、梯度、旋度及其衍生
a5567899的博客
04-05 1万+
在CFD理论研究中，以下的算符是不得不品的基础。下文整理在笛卡尔坐标系下，散度、梯度、旋度等一系列物理量。
梯度、散度、旋度的关系
求津问道的博客
10-14 5万+
转自 百度文库https://wenku.baidu.com/view/681228626137ee06eff918c4.html 麦克斯韦方程组   向量场 数量场 有源场 无源场 保守场（无旋场）有旋场（非保守场）   保守场=有势场=无旋场------环流等于零! 有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性!     3.含时磁场
无线系统笔记（1）--梯度、散度、旋度（麦克斯韦先导）
qq_52201307的博客
02-28 3431
一、向量的加减，点乘叉乘（略） 二、典型坐标系： (笛卡尔，圆柱，球） 1.笛卡尔坐标（最常见，向量为三个方向的偏移量） 2.圆柱坐标系（Cylindrical coordinate) 标记为 , 简记为带有高度的极坐标系 3.球坐标系（Spherical coordiante) 标记为,几何意义：原点与点P之间的“径向距离”（radial distance）r，原点到点P的连线与正z-轴之间的“极角”（polar angle），以及原点到点P的连线在xy-平面的投影线，与正x-轴之间的“方位角
什么是散度，什么是旋度，分别反映什么现象，磁场和静电场分别是什么场？
小黄人的博客
11-01 6019
散度描述矢量场的“源”和“汇”性质，用于衡量场的发散或收缩。旋度描述矢量场的“旋转”或“涡流”性质，用于衡量场的局部旋转或循环流动。散度和旋度是描述矢量场局部性质的重要工具，在理解电场、磁场、流体速度场等的分布和行为方面有着广泛应用。恒定磁场和静电场是两种常见的矢量场，分别对应电磁学中的磁场和电场。静电场：由静止电荷产生，是无旋场，其散度与电荷密度相关。恒定磁场：由稳恒电流或磁性材料产生，是有旋场，但无源（散度为零），磁场线通常为闭合回路。
梯度、散度和旋度
yewei11的专栏
10-21 6158
梯度、散度和旋度   (2011-09-12 20:36:08) 转载▼ 标签：  旋度   散度   梯度   矢量场   拉普拉斯算子   波动方程 分类： 电子技术    梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解
通俗易懂的讲解梯度，散度，旋度（有图很好理解）！！！
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  并且会不断连载原创或转载有价值的参数化软件教程返回搜狐，查看更多 声明：该文观点仅代表作者本人，搜狐号系信息发布平台，搜狐仅提供信息存储空间服务。...
梯度，散度，旋度的具体物理意义
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09-26 3万+
梯度 gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一
散度和旋度的物理意义是什么？
yu132563的专栏
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高等数学学的时间有点久远了，最近需要推倒一些公式，以前高数学的时候这公式那定理的都没说什么物理意义，现在接触的问题都是具有一定物理意义的， 感觉对不上，回来找找资料好好理解一下，在知乎上看到一些比较通俗易懂的答案，所以摘抄到这里给大家分享一下。 梯度的旋度问题 梯度的旋度不为零得话。。 我通俗地说一下矢量场那个吧。矢...
梯度、散度和旋度大揭秘
weixin_43400722的博客
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一、基本概念理解 1、方向导数：在函数定义域内的点，对某一方向求导得到的导数。 2、梯度：是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。 3、通量：在流体运动中，单位时间内流经某单位面积的某属性量，是表示某属性量输送强度的物理量。 4、环量：一个矢量沿一条封闭曲线积分。譬如在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。就像力做功的计算方法一样...
梯度散度旋度的概念
03-10
### 梯度、散度和旋度的数学概念解释 #### 梯度 梯度是一个矢量算子，用于描述标量场的变化率。对于给定的一个多变量实值函数 \( f(x,y,z) \)，其梯度定义为该函数在某一点处的最大变化率的方向及其大小。具体来说，在直角坐标系下，如果有一个二元或三元可微分函数，则可以按照如下方式求得梯度： \[ \nabla f =\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T \] 这里 \( \nabla \) 是哈密顿算符（del），而上标的 T 表示转置操作。 #### 散度 散度用来衡量向量场中某个位置附近通量源强度或者汇合的程度。简单理解就是考察单位体积内的净流出量。在一个三维空间里，假设存在一个连续可微的向量场 \( \mathbf{F}(x, y, z)=(F_x,F_y,F_z) \)，那么这个向量场在任意点 P 的散度表达式为: \[ \operatorname{div} (\mathbf {F})=\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\frac {{\partial F_{x}}}{{\partial x}}}+{\frac {{\partial F_{y}}}{{\partial y}}}+{\frac {{\partial F_{z}}}{{\partial z}}} \][^2] 当上述结果大于零时表示此处有正贡献于外流；小于零则意味着此区域内部物质正在聚集形成负源。 #### 旋度 为了更好地阐述旋度这一概念，先提及环量的概念。环量是指速度沿封闭路径积分的结果，在流体动力学领域尤为重要。对于一个位于固定边界 C 上流动着的理想不可压缩液体而言，它的环流量可通过下面公式来计算： \[ \Gamma = \oint_C \mathbf v \cdot d\mathbf r \] 其中 \( \mathbf v \) 和 \( d\mathbf r \) 分别代表局部线速度以及位移增量。基于这样的背景信息之后再来看待旋度本身：它是表征旋转性质的一种量化指标，反映了围绕特定轴转动的趋势。设有一光滑定向曲面 S 及其边缘 L 组成一对偶结构，并且已知穿过S表面的瞬时流速分布情况，则对应于此系统的平均角动量密度可以通过取极限的方式得到： \[ \lim _{|L|\to 0}{\frac {1}{|A|}}\iint _{S}({\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\mathbf n}})\;d^{2}r=rot\,\mathbf A \] 这里的 rot 即指代旋度运算符，\( |A| \) 表面积元素，\( \hat{\mathbf{n}} \) 法向单位矢量[^3]。 ```python import numpy as np from sympy import symbols, diff # 定义符号变量 x, y, z = symbols('x y z') def gradient(f): """ 计算并返回f关于xyz坐标的梯度 """ grad_f = [diff(f, var) for var in (x, y, z)] return np.array(grad_f) def divergence(F): """ 对输入的向量场F=[Fx,Fy,Fz], 返回其散度""" div_F = sum([diff(component, coord) for component, coord in zip(F, (x, y, z))]) return div_F def curl(F): """ 输入向量场F=[Fx,Fy,Fz], 输出对应的curl""" i,j,k=symbols('i j k') matrix=[ [i,j,k], [*map(diff,(F[0],F[1],F[2]),(x,y,z))], [*[coord.diff()for coord in (x,y,z)]] ] result=np.linalg.det(np.matrix(matrix)) return list(result.expand().as_coefficients_dict().items())[::3] ```
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