2021-05-25 算法1：素数的筛选

普通素数的判断

朴素方法一：

求第10001个素数的值！

#include <stdio.h>

int is_prime(int n) {
	for(int i = 2; i < n; i++) {
		if(n % i == 0) return 0;
	}
	return 1;
}

int main() {	
	int i = 2, n =1;
	while(n < 10001){
		i += 1;
		if(!is_prime(i)) continue;
		n += 1;
	}
	return 0;
}

总耗时
./is_prime 2.24s user 0.00s system 99% cpu 2.254 total
时间复杂度O(n*n) , 空间复杂度O(1);

改进朴素方法二：

求第10001个素数的值！

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int is_prime(int n) {
	for(i = 2, I = sqrt(n); i< I; i++) {
		if(n % i == 0) return 0;
	}
	return 1;
}

int main() {
	int i =3, n =2;
	while(n < 10001) {
		i += 2;
		if(!is_prime(i)) continue;
		n += 1;
	}
	return 0;
}

总耗时
./is_prime 0.02s user 0.00s system 95% cpu 0.018 total
时间复杂度O(n*sqrt(n)) , 空间复杂度O(1);

素数筛

算法步骤

1. 标记一个范围内的数字是否是合数，没有被标记的则为素数;
2. 算法的空间复杂度为O(N)， 时间复杂度为O(N * loglogN);
3. 总体思想用素数标记掉不是素数的数字，例如知道了i是素数，那么2i,3i…n*i都不是素数
4. 算法缺点存在重复的筛选，例如：23与32相互覆盖
   求第10001个素数的值！

求解思路：

1.估算，10001个素数的值不会超过20万
2.用素数去标记掉合数
3.剩余的数即为素数

#include <stdio.h>
#define MAX_N 200000

int prime[MAX_N + 5] = {0};  			//+5 防止边界越界

void init_prime() {
	for(int i =2; i <= MAX_N; i++) { //主体的N次判断
		if(prime[i]) continue; 				//	i为素数
		prime[++prime[0]] = i;				//把素数放进数组
		//for(int j = i * 2; j <= MAX_N; j += i)
		for(int j = i, I = MAX_N/ i; j <= I; j ++) {
			prime[j] = 1; 			//j为合数  
		}
		
	}
	return ;
}

int main() {
	init_prime();
//	for(int i =1; i <= prime[0]; i++) {
//		printf("%d\n", prime[i]);
//	}
	printf("%d\n", prime[10001]);
	return 0;
}

总耗时
./is_prime 0.00s user 0.00s system 57% cpu 0.002 total
空间复杂度为O(N)， 时间复杂度为O(N * loglogN);

练习题

1.请写一个程序，快速求出一个范围内（假设为10000）所有数字的最小素因子
2.请写一个程序，快速求出一个范围内（假设为10000）所有数字的最大素因子

习题1

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100

int prime[MAX_N + 5] = {0};

void init_prime() {
	for(int i =2; i<= MAx_N; i++) {
		if(prime[i]) continue; // i是素数
		for(int j = i; j< MAX_N; j+=i) {
			if(prime[j]) continue;  //被标记的合数
			prime[j] = i; //获取素因子
		}
	}
	return ;	
}

int main() {
	init_prime();
	for(int i = 2; i < MAX_N; i++) {
		printf("min_prime_factor[%d] = %d\n", i, prime[i]);
	}
	return 0;
}

习题2

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100

int prime[MAX_N + 5] = {0};

void init_prime() {
	for(int i = 2; i <= MAX_N; i++) {
		if(prime[i]) continue;
		for(int j = i; j <= MAX_N; j+= i) {
			prime[j] = i;
		}
	}
	return ;
}


int main() {
	init_prime();
	for(int i =2; ; i< MAX_N; i++) {
		printf("max_prime_factor[%d] = %d\n", i, prime[i]);
	}
	return 0;
}

线性筛

算法步骤

总体思想使用一个整数M去标记合数N，其中N和M具有如下性质

1. N中最小素数为p
2. N可以表示成 p * M
3. p 一定小于等于M 中最小的素因子
4. 利用 M * P’(所有不大于M中最小素数的集合)标记 N1, N2, N3…
   时间复杂度为O(N), 空间复杂度为O(N)
   标记一个范围内数字是否为合数，没有被标记的则为素数

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100

int prime[MAX_N + 5] = {0};

void init() {
	for(int i = 2; i <= MAX_N; i++) {
		if(!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;
		for(int j = 1; j <= prime[0]; j++) {
			if(prime[j] * i > MAX_N) break;	//找p’
			prime[prime[j] * i] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	return ;
}

int main() {
	init();
	for(int i = 1; i <= prime[0]; i++) {
		printf("%d\n", prime[i]);
	}
	
	return 0;
}

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