[数据结构]第六章-树

树的基本概念
节点的度：节点的儿子数
树的度：Max{节点的度}
节点的高度：节点到各叶节点的最大路径长度
树的高度：根节点的高度
节点的深度（层数）：根节点到该节点的路径长度

树的遍历
·前序遍历：根左右（x,Tl,Tr）
·中序遍历：左根右（Tl,x,Tr）
·后序遍历：左右根（Tl,Tr,x）

树的表示法

1.父节点数组表示法

（寻找父节点O（1），寻找儿子节点O（n））

2.儿子链表表示法

（为克服找父节点不方便，可牺牲空间换时间：）

3.左儿子右兄弟表示法

（通过左儿子右兄弟表示法将一个树存储方式变化为二叉树形态）
（可将森林用类似的方法变化为二叉树（不同的树根节点用右兄弟的指针连接））

二叉树基本概念
·n个节点的二叉树 高度h的取值范围是 [logn向下取整，n-1]
·高度为h的二叉树 节点数n的取值范围是 [h+1,2^(h+1)-1]
·满二叉树：高度为h且有2^(h+1)-1个节点
·近似满二叉树：除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边。
对每个结点i，满足：
    i
  / \
2i 2i+1
因此可用数组存储（节点间关系显见），若为非近似满二叉树想要这样存储，没有该节点的位置可用空占位（牺牲空间）。
·节点数（设度为i的节点数为ni）
N = n0+n1+n2 = n0×0+n1×1+n2×2 +1 （ 节点数 = 分枝数+1 ）
可得结论 =>
① n0 = n2 + 1
② N = 2×n0 + n1 - 1 = 2×n2 + n1 + 1
在哈夫曼树中n1 = 0，则有N = 2×n0 - 1 = 2×n2 + 1

·含有n个结点二叉树的不同形态数Bn
Bn = ∑（Bl × Bn-l-1） （左子树+右子树）
=>卡特兰数Bn = 1/(n+1) × C（2n，n）

·二叉树与树
①二叉树是一棵度不超过2的树。（错误，二叉树的儿子节点有左右之分）
②二叉树是一棵读不超过2的有序数。（错误，当只有1个儿子节点时二叉树也有左右之分）

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ADT二叉树

·支持的运算

1.BinaryInit()：创建一棵空二叉树
2.BinaryEmpty(T)：判断二叉树T是否为空
3.Root(T)：返回根节点标号
4.MakeTree(x,T,L,R)：以x为根节点，L、R为左右子树构建新二叉树T
5.BreakTree(T,L,R)：将T拆分为根节点元素、左右子树三个部分
6.PreOrder(T)：前序遍历
7.InOrder(T)：中序遍历
8.PostOrder(T)：后序遍历
/*6、7、8在书上写的函数参数是（visit，T），没解释visit是什么，然后9,10,11是输出前中后序列表，参数只有T。博客这里就使用6,7,8函数名字当它作用就是输出列表了，略去了书上的9,10,11。*/
9.Delete(T)：删除二叉树
10.Height(T)：二叉树高度
11.Size(T)：二叉树结点数

二叉树的实现

1.顺序存储结构
（从树根起，从上往下逐层编号存在数组里。适用于满二叉树，若非满二叉树，则用0占空。）

以该种存储方式得到的性质：
1.当且仅当i = 1时为根节点。
2.不为1时，父节点为i/2（向下取整）
3.左儿子为2i
4.右儿子为2i+1
5.i为奇数且不为1时，左兄弟为i-1
6.i为偶数时，右兄弟为i+1

2.结点度表示法
（将所有结点以后序列表排列，给每个结点附加一个0~3的整数表示状态，0表示叶节点，1表示有一个左儿子，2表示有一个右儿子，3表示有两个儿子。）

得到性质：
1. i-1 为右儿子结点
2.必然有左儿子在 i 前，父节点在 i 后

3.用指针实现

线索二叉树
（在每个结点中增加指向在某种遍历下其前驱和后继结点的指针）

线索：所引入的非空指针称为线索。 线索二叉树：加上了线索的二叉树称为线索二叉树。 线索标志位：为了区分一个结点的指针是指向其儿子结点的
指针，还是指向其前驱或后继结点的线索,在每个结点中增 加2个位—leftThread、rightThread分别称为左、右线索标志位。
线索化：对一棵非线索二叉树以某种次序遍历使其变为一棵 线索二叉树的过程称为二叉树的线索化。

二叉树线索化： 由于线索化的实质是将二叉树中的空指针改为指向其前 驱结点或后继结点的线索(并做上线索标志)，而一个结
点的前驱或后继结点只有遍历才能知道，因此线索化的 过程是在对二叉树遍历的过程中修改空指针的过程。
为了记下遍历过程中访问结点的先后次序，可引入指针p 指引遍历，而引入指针pre跟踪p的前驱。首先将pre和p
初始化为遍历的第一结点。然后让p往遍历的方向走找 pre的后继。一旦找到，则它们互为前驱和后继，建立相
应线索。接着将p赋给pre，重复下去直到遍历结束。 二叉树的中序线索化 增加一个头结点，其LeftChild指针指向二叉树的根结
点，其RightChild指针指向中序遍历的最后一个结点。 而最后一个结点的RightChild指针指向头结点。这样一
来，就好象为二叉树建立了一个双向线索链表，既可从 中序遍历的第一个结点起进行中序的遍历；也可从中序
遍历的最后一个结点起进行逆中序的遍历。

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在树的运算实现中常常用到递归。
如：

1.求二叉树叶结点数

2.求二叉树高度 H = Max{Hl，Hr} + 1

3.求二叉树结点数 N = Nl+Nr+1
伪代码：

if(!t) return 0;
l = Size(t->left)
r = Size(t->right)
return l+r+1;

思考：给定二叉树前中后序中的任意2个能否唯一确定该树？给出证明和设计算法确定树。

（转）下面是这个问题的证明与结论：
①给定二叉树结点的前序序列和对称序（中序）序列，可以唯一确定该二叉树。
证明：因为前序序列的第一个元素是根结点，该元素将二叉树中序序列分成两部分，左边（设1个元素）表示左子树，若左边无元素，则说明左子树为空；右边（设r个元素）是右子树，若为空，则右子树为空。根据前序遍历中’根-左子树-右子树’的顺序，则由从第二元素开始的1个结点序列和中序序列根左边的1个结点序列构造左子树，由前序序列最后r个元素序列与中序序列根右边的r个元素序列构造右子树。
②由中序序列和先序序列能唯一确定一棵二叉树，但是由先序序列和后序序列不能唯一确定一棵二叉树，因无法确定左右子树两部分。
反例：任何结点只有左子树的二叉树和任何结点只有右子树的二叉树，其前序序列相同，后序序列相同，但却是两棵不同的二叉树。
③已经说明由二叉树的前序序列和中序序列可以确定一棵二叉树，现在来证明由二叉树的中序序列和后序序列，也可以唯一确定一棵二叉树。
证明：
当n=1时，只有一个根结点，由中序序列和后序序列可以确定这棵二叉树。
设当n=m-1时结论成立，现证明当n=m时结论成立。
设中序序列为S1,S2,…,Sm,后序序列是P1,P2,…,Pm。因后序序列最后一个元素Pm是根，则在中序序列中可找到与Pm相等的结点（设二叉树中各结点互不相同）Si(1≤i≤m)，因中序序列是由中序遍历而得，所以Si是根结点，S1,S2,…,Si-1是左子树的中序序列，而Si+1,Si+2,…,Sm是右子树的中序序列。
若i=1，则 S1是根，这时二叉树的左子树为空，右子树的结点数是m-1,则{S2,S3,…,Sm}和{P1,P2,…,Pm-1}可以唯一确定右子树，从而也确定了二叉树。
若i=m，则Sm是根，这时二叉树的右子树为空，左子树的结点数是m-1