第一章 一个简单的系列是如何诞生的-P.Bezier

为了解决CAD/CAM数学方面的问题，许多方案被提出，每一种方案适合某一特定问题。很多系统被数学家发明。但是UNISURF系统是从事汽车工业的数学工程师开发的，至少刚开始是这样。这些系统在在直线和圆的描绘上相似。倒角和其它blending auxiliary surfaces是不完整的，它们最后的形状要依赖于pattermakers和die-setters的技巧和经验。

Circa 1960,designers of stamped parts such as car-body panels used French curves and sweeps, but in fact the final standard was the "master model",the shape of which, for many valid reasons, could not coincide with the curves traced on the drawing board.此问题被喋喋不休地争论。

显然，这没有什么重大改进。因为没有一个方法可以提供精准的、完备的、无可质疑的任意形状定义方法。

那时，计算机数字化控件(Computing and numerical control-NC)已经有了长足的进步。it was certain that only numbers, transmitted from the drawing office to tool drawing office, manufacture, patternshop and inspection, could provide an answer.Drawings would of course remain necessary, but they would only be explanatory, their accuracy having no importance.Numbers would be the single, final definition.

可以确定的说，如果没有数学的协助，没有系统可被设计出来。设计师，负责操作此系统。他要有很好的几何基础，尤其是画法几何，但是不需要代数或解析几何基础。

法国很快就知道了美国航空工业的进展。在1964年之前，James Ferguson的论文已经透露：雪铁龙(法国汽车公司)已经秘密地得到了Paul de Casteljau的研究成果。但是著名的技术报告MAC-TR-41(作者:S.A.Conns)没有发表直到1967年。在1974年W.Gordon和R.Riesenfeld发表出版了它们。

起初，UNISURF的理念是面向几何而不是解析几何，but with the idea that every datum should be exclusively expressed by numbers.

比如，圆弧可被坐标、cartesian of course、受限点表示(见图1.1)。

ie.,A and B, together with their curvilinear abscissas, related by a grid traced on the edge.

The shape of the middle line of a sweep is acube, if its cross-section is onstant, its matter is homogeneous, and the effect of friction on the tracing cloth is neglected.然而，计算两个点之间的长度有些困难。软件或NC机器使用这些曲线，如2D铣床。这些曲线可为直线、圆，也可能是抛物线。样条曲线将将切割细分成一系列首尾相连的圆弧。

为了将圆弧转换成椭圆的一部分，可使用如下图1.2所示的矩形框架。它有两个方向的绳子，这两个方向绳子的交点可确定一条圆弧。如果框架变成了平行四边形，将框架变成如1.3图所示的样子。圆弧就变成了椭圆弧了。此椭圆弧完全由三个已知坐标点A、B、C定义。如果框架被如图1.4所示的缩放器代替，它将变成平行四边形。一个椭圆弧仍旧被三个已经坐标点ABC定义。

图1.1 template的一部分逼近一段手绘的曲线

图1.2 连接矩形网格点生成圆弧

图3 如果前幅图中的框架发生剪切变形，便可得到椭圆上的弧。

（me:即框架由原来的矩形变成了平行四边形）

图4 缩放构造椭圆弧

(me:我猜想上面左面还有一个缩放器，这两个缩放器用来定位两方向的绳子，当缩放器缩放时，绳子的位置跟着变化，就确定了交点，就又定义了新的弧)

图5 椭圆弧的“控制多边形”

当然，这个并不实现，但它可以代替计算出的曲线上的连续点。那时使用调和函数模拟，此方法使用广泛，结果也不错。但是仅使用有限的椭圆弧太受限制了。需要更自由的方法定义曲线。