2025 ICPC Nanchang Invitational and Jiangxi Provincial Collegiate Programming Contest——C

简化题意

一副除去大小王的扑克牌，初始两人各拿五张，你知道自己的牌，可以换 掉其中的若干张牌并加注同等数量的筹码，最终总点数大的一方胜并赢得 全部筹码，问最大收益的期望。

补题点这里

问题转化为 $47$ 张牌 ,抽 $k$ 张换掉最小的 $k$ 张，对方抽 $5$ 张，获胜的期望，终止状态肯定是我抽 $k$ 张牌，对方抽 $5$ 张牌，定义 $f[i][x][j][y]$ 表示我抽了 $i$ 张牌，得分是 $x$,对方抽了 $j$ 张牌，得分为 $y$ 的方案数，那么总方案数就是
$$\begin{gathered} T_k=\sum _{x\in [0,65]}\sum _{y\in [0,65]}f[k][x][5][y] \\ =\sum _{x\in [0,65],y\in [0,65]}f[k][x][5][y] \end{gathered}$$
下面省略 $x$ , $y$ 的范围

那么我恰好得分为 $x$ ,对手恰好得分为 $y$ 的概率是
$$P=\frac{f_{k,x,5,y}}{T_k}.$$
令 $S_k:=$ 剩下的 $5-k$ 张最大牌得分之和

如果 $S_k+x>y$ ,我赢，收益为 $k$

如果 $S_k+x<y$ ,我输，收益为 $-k$

针对所有 $(x,y)$ 的期望，我们先把收益与概率相乘，再求和相加，故期望为
$$E_k=\underset{\text{赢的期望贡献}}{\underbrace{\sum _{S_k+x>y}(+k)\frac{f_{k,x,5,y}}{T_k}}}+\underset{\text{输的期望贡献}}{\underbrace{\sum _{S_k+x<y}(-k)\frac{f_{k,x,5,y}}{T_k}}}.$$

由于 $k$ 和 $T_k$ 都和 $(x,y)$ 无关，可提出到求和符号外,故
$$E_k=\frac{{\sum }_{s_k+x>y}{f}_{k,x,5,y}}{{\sum }_{x,y}{f}_{k,x,5,y}}k+\frac{{\sum }_{s_k+x<y}{f}_{k,x,5,y}}{{\sum }_{x,y}{f}_{k,x,5,y}}(-k).$$

现在考虑如何求DP数组，开成这样的DP数组，需要积累的是一般都需要原地更新，意味着正向递推会重复计算，所以每一维都需要倒序计算,或者写一个副本，每次DP完swap

#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
using i128 = __int128;

constexpr int mod = 998244353;
i64 qp(i64 a,i64 b){
    i64 ans = 1;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans*a%mod;
        a = a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
i64 f[6][66][6][66];//J抽了i张点数是x的方案D抽了j张点数是y的方案数
int norm(string &s){
    if(s=="A") return 1;
    if(s=="10") return 10;
    if(s=="J") return 11;
    if(s=="Q") return 12;
    if(s=="K") return 13;
    return s[0]-'0';
}
int cnt[15];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    f[0][0][0][0]=1;
    vector<int> my(5);
    for(int i = 0;i<5;++i){
        string c;
        cin>>c;
        cnt[norm(c)]++;
        my[i] = norm(c);
    }
    vector<int> a;
    for(int i = 1;i<=13;++i){
        for(int j = 1;j<=4-cnt[i];++j){
            a.emplace_back(i);
        }
    }
    //所有都需要倒序枚举
    for(auto &z:a){
        for(int i = 5; i >= 0; --i){
            for(int x = 65; x >= 0; --x){
                for(int j = 5; j >= 0; --j){
                    for(int y = 65; y >= 0; --y){
                        // 1) 不要这张牌：什么都不做，f[i][x][j][y] 保持
                        // 2) 给我补牌
                        if(i+1 <= 5 && x+z <= 65){
                          f[i+1][x+z][j][y] = (f[i+1][x+z][j][y] + f[i][x][j][y]) % mod;
                        }
                        // 3) 给对手补牌
                        if(j+1 <= 5 && y+z <= 65){
                          f[i][x][j+1][y+z] = (f[i][x][j+1][y+z] + f[i][x][j][y]) % mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    sort(my.begin(),my.end(),greater());
    for(int k = 1;k<=5;++k){//换掉k张
        i64 ans = 0;
        i64 sk =0;
        for(int i = 0;i<5-k;++i) sk+=my[i];
        i64 frac =0,f1=0,f2=0;
        for(int x = 0;x<=65;++x){
            for(int y = 0;y<=65;++y){
                (frac+=f[k][x][5][y])%=mod;
                if(sk+x>y) (f1+=f[k][x][5][y])%=mod;
                if(sk+x<y) (f2+=f[k][x][5][y])%=mod;
            }
        }
        frac = qp(frac,mod-2);
        ans = (k*f1%mod*frac%mod-k*f2%mod*frac%mod+mod)%mod;
        cout<<ans<<"\n";
    }
    return 0;
}