LuoguP2822[NOIP2016] 组合数问题 解题报告【组合数取模+矩阵前缀和】

题目描述
组合数$C_n^m$表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从$(1,2,3)$ 三个物品中选择两个物品可以有$(1,2),(1,3),(2,3)$这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：
$C_n^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$
其中$n! = 1 × 2 × · · · × n$
小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的$0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)$有多少对$(i,j)$满足$C_i^j$是k的倍数。
输入输出格式
输入格式：
第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。
接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。
输出格式：
t行，每行一个整数代表答案。
输入输出样例
输入样例#1：
1 2
3 3
输出样例#1：
1
输入样例#2：
2 5
4 5
6 7
输出样例#2：
0
7
说明
【样例1说明】
在所有可能的情况中，只有$C_2^1=2$是2的倍数。
【子任务】

解题报告
由于数据范围在2000内，我们可以用递推公式求出组合数，顺便对k取模，过后用矩阵前缀和统计就好了。
需要注意两点，一是初值$(C_i^0=1,C_i^i=1)$，二是矩阵前缀和的求法：

sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+w;

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2000;
int c[N+5][N+5],sum[N+5][N+5];
int T,n,m,k;
int main()
{
    scanf("%d%d",&T,&k);
    for(int i=1;i<=N;i++)c[i][0]=1,c[i][i]=1; 
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=1;j<=i-1;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]%k+c[i-1][j]%k)%k;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=1;j<=N;j++)
    {
        sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
        if(!c[i][j]&&j<=i)sum[i][j]++;
    }
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",sum[n][m]);
    }
    return 0;
}