关于Pascal和二项式系数

本文探讨了Pascal三角形的递推函数及其与动态规划的关系,并介绍了二项式定理及其在数学中的应用。此外还讨论了二项式系数的性质及多项式定理。

《Introductory Combinatorics Fifth Edition》学习笔记:

关于pascal三角形:

Pascal三角形递推函数:


将n,k值看做dp数组的二维,由此得到动态规划转移式。

也可以看做是从的点(0,0)走到其所在位置(n,k)。

不过,走法只有两种:

从这种图的角度也能理解为什么一行的和是上一行数字和的2倍。

同时我们也可以理解为什么一行的数字和是,所以我们得到:

二项式定理:

当我们设x=1,y=x,有:

有一个改变n的大小的重要等式:


证明:

有了它之后,可以得到这样的式子:


不难看懂吧

另一个重要的变n等式:

这玩意儿用公式不好推导,用组合原理想:假设将2n个苹果分成2份各n个,现在到2个果篮里拿够n个,那么就是:

我们知道二项式系数是一个山峰序列,同时它具有这样的性质:当n是奇数时存在两个同高的最高峰,当n是偶数时仅存在一个最高峰。

通过数学推论:


如果n是一个奇数,那么存在着n+1=2k <--- n+1-k=k 即


一点其他的东西:关于x, 令floor函数是 ,它满足

与之对应的是ceiling函数:    函数值保证是整数
在计算机内:如果n是一个整数,折半后,统一向上取整:(n+1)/2,统一向下取整:n/2。

多项式定理:

定义   其中 

那么,pascal中的元素可以写成:

由Pascal的递推关系进一步得到多项式系数的递推式:


定理:设n是一个正整数,有:


其中,

例如:对于 展开后, 的系数对应:

接下来简单的说说当n是负数的情况:

当n<0,我们仍然按照计算原则进行下去。

所以有以下等式成立:

 

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