约瑟夫环

最新推荐文章于 2024-11-14 15:54:34 发布

theArcticOcean

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分类专栏： algorithm_数据结构文章标签：约瑟夫环

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本文探讨了经典的约瑟夫环问题，通过两种方法求解该问题：一是使用循环链表进行模拟，二是利用数学归纳法得出递归公式。递归方法避免了循环链表的复杂操作，提高了算法效率。

问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后[1] 结果+1即为原问题的解。
用循环链表来模拟解决，思路简单：

#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

int main()
{
    list<int> *q=new list<int>();
    int n,k,last,order=0;
    cin>>n>>k;
    if(k==1){
        cout<<n<<endl;
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q->push_back(i);
    }
    list<int>:: iterator ix=q->begin(),temp=ix;
    while(!q->empty()){
        order++;
        if(order==k){
            last=*ix;
            cout<<last<<" "; 
            q->erase(ix);
            order=0;
            ix=temp;
        }
        temp=ix++;
        if(ix==q->end()) ix=q->begin(); //模拟循环链表
    }
    cout<<endl;
    cout<<last<<endl;
    return 0;
}

仔细分析，还能得到更好的的思路：
由于取余的特殊性，假设元素的下表从0开始。对于n=10,k=3:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 3 4 5 6 7 8 9 --> 3 4 5 6 7 8 9 0 1 --> 3 4 5 6 7 8 9 10 11 --减3--> 0 1 2 3 4 5 6 7 8
这告诉我们前者删除的数字可以由n更小的后者推导出来：
当count>1, f(n,k,count)=f(n,k,count-1)+k. (例如前者删除的第二个数字就是后者删除的第一个数字2+3=5)
终止式：当count=1, f(n,k,count)=(n+k-1)%n;
推导出递推式很重要！

#include <iostream>
using namespace std;
int n,k;
int work(int n,int c){
    if(c==1)  return (n+k-1)%n;
    else return (k+work(n-1,c-1))%n;
}
int main()
{
    while(cin>>n>>k){
        //for(int i=1;i<=n;i++) cout<<work(n,i)+1<<" ";
        cout<<work(n,n)+1<<endl;
    }
    return 0;
}