两道经典概率题的讲解与拓展。隔板法

最新推荐文章于 2024-07-11 18:30:06 发布

bjdu_jlxs

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本文解析了几道经典概率问题，如17个桃子分给3个小朋友的不同分法，通过直观的方法帮助理解如何求解此类问题。同时也提供了解决更复杂情况的方法。

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两道经典概率题
概率中有两类经典题：
a+b+c+d+e = 100
问abcde有多少种组合方式（各数不为0）
问abcde有多少种组合方式（各数可以为0）
这两类经典题有多种变换方式，很多人望着很头疼，这里稍微讲讲几个变换，希望大家可以弄懂。
在看讲解之前，先自测几个题目：

1. 17个桃子分给3个小朋友，总共多少种分法。
提示，分不到的小朋友会哭。

2. 17个桃子分给3个小朋友，小朋友不喜欢吃桃子。有多少种分法。

3. 3个小朋友午饭一起吃20个桃子，一号小朋友吃一个就不饿了，二号小朋友吃两个就不饿了，三号小朋友吃三个才不饿。
有多少种分桃子的方法。（提示，没吃完可以带回家，吃不饱会哭）

4. a+b+c+d+e = 100
问abcde有多少种组合方式（各数不为0）
问abcde有多少种组合方式（各数可以为0）

5. a+b+c+d+e+......+x+y+z = 5050(从a到z)
问abcde...xyz有多少种组合方式（各数不为0）
问abcde...xyz有多少种组合方式（各数可以为0）

如果你觉得都很简单。。。你是大师，不用看了，回家吃桃子吧。
如果你觉得题目确实经典，继续看：

1. 17个桃子分给3个小朋友，总共多少种分法。
提示，分不到的小朋友会哭。
转化为 a+b+c = 17 不可以为0的情况
因为不可以为零，相当于在17个桃子中间放两个加号，两个桃子之间最多只能一个加号。
就相当于17个桃子中间有16个位子，16个位子选2个来放2个加号，将桃子分成三份
于是答案是C16,2

2. 17个桃子分给3个小朋友，小朋友不喜欢吃桃子，小朋友可以不得到桃子。有多少种分法。
转化为 a+b+c = 17 可以为0的情况
因为可以为零，假如我们把加号和17个桃子一起看成19个物体，放到19个坑里。放好之后的排列就是一种分桃的方法。
17个桃子再加上2个+号，一共是19个位置，从这19个位置上选2个位子放加号，就得满足小朋友啦。
因为这个时候加号是可能相邻的或是在最左边最右边的，当他们相邻、或者在最左边最右边的时候，就产生了分到0个的情况。
总数为19个位子选2个位子放加号C19,2
19是什么呢？就是17个桃子+2个加号。

19:

扩展方法：转化为不能为0的问题，每个小孩都先分“-1”个，问题变成17-（-3）=20个桃子分3个小朋友不能为0的情况

=C19,2

3. 3个小朋友午饭一起吃20个桃子，一号小朋友吃一个就不饿了，二号小朋友吃两个就不饿了，三号小朋友吃三个才不饿。
有多少种分桃子的方法。（提示，没吃完可以带回家，吃不饱会哭）
两种方法：
一、先分 0、1、2个，转化为 a+b+c=17 不可以为0，按上面方法得出 C16,2
二、先分 1、2、3个，转化为 a+b+c=14 可以为0，按上面方法得出 C16,2
殊途同归

4. a+b+c+d+e = 100
问abcde有多少种组合方式（各数不为0）
问abcde有多少种组合方式（各数可以为0）

答案是C99,4 和 C104,4

5. a+b+c+d+e+......+x+y+z = 5050(从a到z)
问abcde...xyz有多少种组合方式（各数不为0）
问abcde...xyz有多少种组合方式（各数可以为0）
如果你弄懂了，这个答案写出来看看？

最后悬赏问题：
1. 上面第五题的答案
2. n个小朋友分m个桃子，假设m,n都会使他们有意义，可以为0 和不可以为0的答案各是多少呢? 请用字母表示
3. 30个桃子5个人分，他们每人至少要12345个，总共多少种方法。