54、线性方程组的算法与并行执行时间分析

线性方程组的算法与并行执行时间分析

1. 高斯消元法的并行执行

1.1 数据交换与通信

在高斯消元法中，当主元行和第 $k$ 行由不同的行组存储时，需要进行通信以交换主元行。 compute_partner(Ro(r), me) 函数用于计算调用处理器 me 的通信伙伴，即属于与 me 相同列组的处理器 $q \in Ro(r)$。 compute_size(n, k, Ro(k)) 函数计算主元行中列索引大于 $k$ 的元素数量，该数量取决于行组 $Ro(k)$ 的大小、块大小和位置 $k$。

1.2 主元行的分布

为了分布主元行 $r$，处理器在其列组中参与单播操作。并行执行的单播操作的根是处理器 $q \in Ro(r)$。单播的参与者是处理器 $q’ \in Cop(q)$，当 $q’ \in Ro(r)$ 时作为根，否则作为接收者。

1.3 消元因子的计算与分布

compute_elim_fact_loc() 函数用于计算处理器拥有的所有元素 $a_{ik}$ 的消元因子 $l_{ik}$，消元因子存储在缓冲区 elim_buf 中。消元因子通过单播操作发送到同一行组 $Rop(q)$ 中的所有处理器，使用相应的通信器 comm(Rop(q)) 。单播操作的根处理器 $q$ 在组 $G$ 中的编号（秩）由 rank(q, G) 函数确定。

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