24、常量传播复杂性的探索

常量传播复杂性的探索

1. 动机

常量传播（CP）是实践中最广泛使用的优化方法之一，它旨在静态检测表达式在运行时是否总是计算为唯一常量。然而，即使完全忽略分支的解释，常量传播问题通常也是不可判定的。不同作者已证明了这一点，例如Hecht以及Reif和Lewis。

Hecht的证明基于波斯特对应问题（Post correspondence problem）。波斯特对应系统由一组对 $(u_1, v_1), \ldots, (u_k, v_k)$ 组成，其中 $u_i, v_i \in {0, 1}^*$。若存在序列 $i_1, \ldots, i_n$ 使得 $u_{i_1} \cdots u_{i_n} = v_{i_1} \cdots v_{i_n}$，则该对应系统有解。

在Hecht的构造中，变量 $x$ 和 $y$ 被用作表示 ${0, 1}^*$ 中字符串的十进制数。对于对应系统的每一对，循环的不同分支分别将字符串 $u_i$ 和 $v_i$ 附加到 $x$ 和 $y$ 上。若波斯特对应问题无解，$x - y$ 总是计算为非零值，此时表达式 $1 \text{ div } ((x - y)^2 + 1)$ 总是计算为 0；若对应系统有解，该表达式可能计算为 1。因此，变量 $r$ 为常量（值为 0）当且仅当波斯特对应问题无解。

另一方面，对于无环（即无循环）程序，常量传播是可判定的，但即使在这种情况下，问题也是难解的，已被证明是 co - NP 难的。这个结果基于 3 - SAT 问题的余问题的多项式时间归约。对于一个 3 - SAT 实例，通过特定的程序构造，变量 $r_2$ 在每个程序路径上计算为 1 当且仅当底层的 3 - SAT 实例无解。 <