4、图像去卷积的数学基础与优化方法

图像去卷积的数学基础与优化方法

在图像处理领域，图像去卷积是一个重要的问题，尤其是处理模糊图像时。本文将介绍图像去卷积相关的数学背景知识，包括不适定问题的分类、随机域估计、稀疏诱导范数以及优化技术等内容。

1. 图像去卷积中的数学基础

1.1 平方根函数的上界

在处理图像像素值的一阶差分相关问题时，不等式右边的项可以通过定义差分运算矩阵转化为矩阵向量积的形式。设 (D = [ (D_h)^T (D_v)^T ]^T)，其中 (D_h) 和 (D_v) 分别用于计算向量 (x)（由矩阵 (x) 按行排序得到）的所有水平和垂直一阶差分向量。在计算一阶差分时，对 (x) 使用周期性边界条件。这样，相关方程可转化为：
[Q_{TV} (x, x^{(i)}) = x^T D^T \omega^{(i)} D x + B(x^{(i)})]
其中 (\omega^{(i)}) 用于处理原方程右边第一项的分母，定义为 (\omega^{(i)} = diag(W^{(i)}, W^{(i)}))，(W^{(i)}) 是一个向量，其第 (j) 个元素为：
[w^{(i)}_j = \left( 2 \sqrt{(\Delta_h x^{(i)}_j)^2 + (\Delta_v x^{(i)}_j)^2} \right)^{-1}]
在所有以总变差（TV）为正则化项的公式中，我们使用上述上界函数作为正则化项。

1.2 不适定问题分类

1.2.1 非线性不适定问题

当方程中的 (K) 为非线性算子时，不适定问题被归类为非线性不适定问题。由于此时无法进行谱分析，找到合适的正则化项和正则化