Scheme编程与算法问题解析

82、编写一个表达式，其值是一个表格，该表格将 0 到 999 的每个整数与其平方关联起来。

在 Scheme 中可以使用以下代码实现：

(map (lambda (x) (cons x (* x x))) (iota 1000))

这里：

• iota 1000 生成从 0 到 999 的整数列表；
• lambda (x) (cons x (* x x)) 是一个匿名函数，它将每个整数 x 与其平方 (* x x) 组合成一个序对；
• map 函数将该匿名函数应用到整数列表的每个元素上。

83、定义一个名为 buffer-size 的过程，用于计算缓冲区中项目的数量（将重复项视为不同项）。不要依赖特定的缓冲区模型结构！

(define buffer-size
  (tally empty-buffer?
         (pipe take-from-buffer >next)))

84、证明 (lambda (left right) (>= (sum left) (sum right))) 是所有数字列表构成的域上的一个序关系。这个序关系诱导出的等价关系是什么？

要证明 (lambda (left right) (>= (sum left) (sum right))) 是序关系，需验证其 连通性 和 传递性 。

连通性

对于任意两个数字列表 left 和 right ，要么 (sum left) >= (sum right) ，要么 (sum right) >= (sum left) ，满足连通性。

传递性

设存在三个数字列表 left 、 mid 和 right ，若 (sum left) >= (sum mid) 且 (sum mid) >= (sum right) ，则必然有 (sum left) >= (sum right) ，满足传递性。

因此，它是序关系。

诱导出的等价关系

该序关系诱导出的等价关系是：两个数字列表 left 和 right ，当 (sum left) = (sum right) 时，它们在这个序关系下等价。

85、证明：对于定义在域 D 上的任何排序关系 R，关系 R 也是一种排序关系。其中，对于 D 中的任意元素 a 和 b，当且仅当 b 与 a 具有关系 R 或者 a 与 b 不具有关系 R 时，a 与 b 具有关系 R 。

要证明 R 是排序关系，需证明其满足 连通性 和 传递性 *。

1. 连通性 ：
   设 a 和 b 是域 D 中的任意元素。
   因为 R 是连通的，所以要么 a 与 b 具有关系 R，要么 b 与 a 具有关系 R。

• 若 b 与 a 具有关系 R，根据 R 的定义，a 与 b 具有关系 R 。
• 若 a 与 b 不具有关系 R，同样根据定义，a 与 b 具有关系 R*。

所以对于任意 a 和 b，要么 a 与 b 具有关系 R ，要么 b 与 a 具有关系 R ，即 R* 是连通的。

2. 传递性 ：
   设 a、b、c 是域 D 中的元素，且 a 与 b 具有关系 R ，b 与 c 具有关系 R 。
   分情况讨论：

• 若 a 与 b 具有关系 R 是因为 b 与 a 具有关系 R，b 与 c 具有关系 R 是因为 c 与 b 具有关系 R。
  由于 R 是传递的，所以 c 与 a 具有关系 R，根据 R 的定义，a 与 c 具有关系 R 。

• 若 a 与 b 具有关系 R 是因为 a 与 b 不具有关系 R，b 与 c 具有关系 R 是因为 c 与 b 具有关系 R。
  因为 R 是传递的，若 a 与 c 具有关系 R，又 c 与 b 具有关系 R，那么 a 与 b 应具有关系 R，这与 a 与 b 不具有关系 R 矛盾，
  所以 a 与 c 不具有关系 R，根据 R 的定义，a 与 c 具有关系 R 。

• 其他情况同理可证。

所以 R* 是传递的。

综上，R 满足 连通性 和 传递性 ，因此 R 是排序关系。

86、通过数学归纳法证明，对于任意自然数n，高度为n的树的最大节点数为2ⁿ - 1。

1. 基础情况 ：当n = 0时，树的高度