线性查找－数组最大距离

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#二分查找 #算法 #数据结构

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已知整型数组A[n], 问找到最大的 j-i, 符合A[i] < A[j].

方法一：n个数据，两个变量，由于当i,j确定时，每次的比较很简单(A[i] ? A[j])，时间为O(1)，所以最原始的暴力解法就是时间O(n^2)。

方法二：我们试着逐步降低时间复杂度。对于符合条件 A[i] < A[j]的 i 和 j，j-i 的可能取值范围为[1,n)。由于必然存在一个极大值k = j-i, 当j-i > k时, 没有 j-i 符合条件；当j-i < k时，必有 j-i 符合条件(比如k序列的子序列)。所以k是在一个线性分布上的极大值，符合二分查找的应用条件。总的时间复杂度为O(n*lgn)

bool distanceExist(int *A, int n, int k, int& begin){ //k=j-i
    for(int i=0;i+k<n;++i){
        if(A[i] < A[i+k]){
            begin = i;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int maxDistance(int *A, int n, int& begin){
    int u=n, v=0, m=0;
    while(v<u){
        m = (u+v)/2;
        if(distanceExist(A, n, m, begin)){
            v = m+1; //enlarge v to try greater m
        }else{ //reduce u to try smaller m
            u = m;
        }
    }
    return m;
}

方法三：我们来尝试一下是否存在时间O(n)的解法。考虑到题目中每一个元素A[i]和它右边的元素比较，如果强化一下，让A[i]和它右边所有元素中最大值比较，会有什么效果？

图一，A[] = {3,1,2,3,1,2,1}

如上图所示，我们有原始数组A[] = {3,1,2,3,1,2,1}, 纵坐标Rmax[i]表示的是从A[i]到最右边剩余数组中的最大值。如果我们从左边i=0开始，每次比较A[i] 和 Rmax[j] (i<j), 当A[i] < Rmax[j], 向右移动j, 当A[i] < Rmax[j] 刚刚不成立时，j-1-i即是A[0]到A[j]之间符合条件的最大j-i。因为如果有x<i, 能够符合A[x] < A[j], 由于x在i左边，所以A[x]肯定能够率先扫描到Rmax[j]. 然后，同时分别向左移动一位i和j，继续以上过程。因为我们已经确认存在j-1-i了，所以之后只需要考察j-i即可。

图二，A[] = {1,0,0,0,2,1,1}

由于j首先到达右边边界，所以总的时间为O(n)。终于找到了线性查找的方法！一份实现代码如下：

int maxDistance_02(int *A, int n, int& left){
    if(n<2) return 0;
    int *Rmax = new int[n]();
    Rmax[n-1] = A[n-1];
    for(int i=n-2;i>=0;i--){
        Rmax[i] = max(A[i], Rmax[i+1]);
    }
 
    int l=0, r=0, maxDiff=-1;
    while(l<n && r<n){
        if(A[l] < Rmax[r]){
            if(r-l > maxDiff){
                maxDiff = r-l;
                left = l;
            }
            ++r;
        }else{
            ++l;
            ++r; //resume to scan from the potential distance remaining r-l
        }
    }
    delete[] Rmax;
    return maxDiff;
}

小结：

1。二分查找的适用情况：待比较值m呈线性分布，并且存在一个极值(极大或极小)作为目标值。

2。对于存在两个变量的情况，如果希望实现时间为线性的查找，那么第一，看是否能够简化两个变量的关系，避免两变量相互独立；第二，当得到两变量某组合时，对数据的处理能否简化到时间O(1)。

注：题目来自leetcode, 同时也附有解法。不过网站在介绍O(n*lgn)的解法时用了排序，相比于我这里原创的方法二，既多用了空间，又多了一遍扫描，所以没有引用。网站介绍的O(n)的解法("Best Solution")，过于晦涩也没有完整代码，我从评论中找到一份实现，作为这里的方法三。