5、有限域 GF(2) 上的本原多项式：密码学视角

有限域 GF(2) 上的本原多项式：密码学视角

1. 引言

流密码是一种重要的加密方式，其标准模型通常将多个独立线性反馈移位寄存器（LFSR）序列的输出，通过非线性布尔函数组合生成密钥流。该密钥流与消息比特流进行逐位异或操作得到密文，解密过程与加密过程相同。过去二十年，非线性组合布尔函数的性质受到了广泛关注，目前已能获得具有较强密码学特性的布尔函数。而本文将聚焦于流密码系统中的另一个关键组件——LFSR。

设计 LFSR 时，为抵抗密码分析攻击，需考虑以下几点：
- 连接多项式必须是 GF(2) 上的本原多项式。
- 连接多项式的权重必须较高。
- 连接多项式不应有中度稀疏倍数。

使用具备这些特性的多项式，即使采用当前已知技术，也难以对标准模型进行密码分析。本文旨在寻找具有这些特性的多项式，解决了之前关于本原多项式是否存在三项式倍数的疑问，并推广了相关结果，同时提供了寻找低次三项式倍数的算法。

2. 预备知识

• 伽罗瓦域（Galois Field） ：对于每个素数 $p$ 和正整数 $d$，存在唯一（同构意义下）的阶为 $p^d$ 的有限域，记为 $GF(p^d)$，$p$ 称为该域的特征。$GF(p^d)$ 的非零元素在乘法下构成循环群，存在一个生成元 $\alpha$ 能生成除零以外的所有元素，且 $\alpha^{p^d - 1} = 1$。例如，当 $p = 2$，$d = 4$ 时，$GF(2^4) = {0, \alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \cdots, \alpha^{14}}$。