2019 ACM-ICPC North America Qualification Contest B Diagonal Cut

题意

给一个由$m\ast n$个$1\ast 1$的小矩形组成的长为m,宽为n的大矩形,连接其一条对角线，求被对角线一分为二的小矩形的个数

思路

首先画个图，对角线方程为$y=\frac{N}{M}$，设正方形左下角点坐标为$（p，q）$，则正方形中心$（p+\frac{1}{2},q+\frac{1}{2}）$，当对角线过正方形中心时，正方形面积被分为两个相等的部分，由此可列出方程:

$(p+\frac{1}{2})\ast \frac{N}{M}=q+\frac{1}{2}（0<=p<M,0<=q<N）$ 求p,q解的组数

其中N可写为$n\ast gcd(M,N)$，同理M可写为$m\ast gcd(M,N)$

方程可化为：

$(2p+1)\ast \frac{n}{m}=2q+1（0<=p<M，0<=q<N）$

显然$2p+1$和$2q+1$为奇数，所以m，n均为奇数时才有解,解释如下：

(1)若n为奇，m为偶$(2p+1)\ast \frac{n}{m}$必为小数，$2q+1$为整数，无解;

(2))若n为奇，m为奇$(2p+1)\ast \frac{n}{m}$可能为整数，$2q+1$为整数，可能有解;

(3)若n为偶，m为偶$(2p+1)\ast \frac{n}{m}$必为小数，$2q+1$为整数，无解;

(4)若n为偶，m为奇$(2p+1)\ast \frac{n}{m}$若为整数，则是偶数，$2q+1$为奇数，无解;

方程再化为

$\frac{2p+1}{m}=\frac{2q+1}{n}（1<=2p+1<2M+1，1<=2q+1<2N+1）$

$（1<=2p+1<2M+1，1<=2q+1<2N+1）$可改写为$（m<=2p+1<=2mgcd(M,N)，n<=2q+1<=2ngcd(M,N)）$
方程解如下：

p	q
$(m-1)/2$	$(n-1)/2$
$(3m-1)/2$	$(3n-1)/2$
$(5m-1)/2$	$(5n-1)/2$
…	…
$(2gcd(M,N)-1)\ast m-1)/2$	$((2gcd(M,N)-1)\ast n-1)/2$
end	end

一共$gcd(M,N)$个解

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll gcd(ll m,ll n)
{
    ll a=m,b=n;
    if(n>m)
    {
        swap(m,n);
    }
    while(m%n)
    {
        ll k=n;
        n=m%n;
        m=k;
    }
    a/=n;
    b/=n;
    return (a&1&&b&1)?n:0;
}

int main()
{
    ll m,n;
    cin>>m>>n;
    ll g=gcd(m,n);
    cout<<g<<endl;
    return 0;
}