NOIP2023模拟12联测33 滈葕

题目大意

给定一个有$n$个点$m$条边的$0/1$权有向图，你要给每个点赋予$ABCD$中的一个字母使得每条有向边$(u,v,w)$都满足

$$w=1\Leftarrow \Rightarrow (a_u,a_v)\in \{(A,D),(A,B),(B,D),(B,A),(C,D),(C,A),(C,B)\}$$

如果无解，输出$NO$；否则在第一行输出长度为$n$的由$ABCD$构成的字符串，第$i$个字符表示第$i$个点的权值。如果有多解，你只需要任意输出一个。

n≤105,m≤5×105,1≤x,y≤n,z∈{0,1}n\leq 10^5,m\leq 5\times 10^5,1\leq x,y\leq n,z\in\{0,1\}n≤105,m≤5×105,1≤x,y≤n,z∈{0,1}，$(x,y,w)$中的$x,y$可能相同。

题解

先放一段与题目有关的材料。

$ABO$血型系统是血型系统的一种，把血液分为$A,B,AB,O$四种血型。血液由红细胞和血清等组成，红细胞表面有凝集原，血清内有凝集素。根据红细胞表面有无凝集原$A$和$B$来划分血液类型。红细胞上只有凝集原$A$的为$A$型血，其血清中有抗$B$凝集素；红细胞上只有凝集原$B$的为$B$型血，其血清中有抗$A$凝集素；红细胞上两种凝集原都有的为$AB$型血，其血清中无凝集素；红细胞上两种凝集原皆无者为$O$型，其血清中两种凝集素皆有。有凝集原$A$的红细胞可被抗凝集素凝集；有凝集原$B$的红细胞可被抗$B$凝集素凝集。配血试验是两个人分别提供红细胞和血清并将其混合，观察是否有凝集反应。

可以发现，$ABCD$的属性分别对应$A,B,AB,O$型血，一条边表示一次配血试验。

设$a_i,b_i$分别表示第$i$个人的红细胞有无凝集原$A,B$，则凝集原$A$和抗$A$凝集素的相遇条件为$a_x\wedge \neg a_y$，凝集原$B$和抗$B$凝集素的相遇条件为$b_x\wedge \neg b_y$。因此，每个条件为$z=(a_x\wedge \neg a_y)\vee (b_x\wedge \neg b_y)$，那么

• 如果$z=0$，则满足$\neg (a_x\wedge \neg a_y)\wedge \neg (b_x\wedge \neg b_y)$，即$(\neg a_x\vee a_y)\wedge (\neg b_x\vee b_y)$
• 如果$z=1$，则满足$(a_x\wedge \neg a_y)\vee (b_x\wedge \neg b_y)$，即$(a_x\vee b_x)\wedge (a_x\vee \neg b_y)\wedge (b_x\vee \neg a_y)\wedge (\neg a_y\vee \neg b_y)$

这两种情况都是$2-SAT$的形式，对于每个$i$，在$2-SAT$的图上令$i$表示$a_i$，$i+n$表示$\neg a_i$，$i+2n$表示$b_i$，$i+3n$表示$\neg b_i$，然后用$tarjan$即可。

时间复杂度为$O(n+m)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000;
int n,m,ct=0,tp=0,cl=0,dfn[N*4+5],low[N*4+5],st[N*4+5],co[N*4+5];
vector<int>g[N*4+5];
void add(int xx,int yy){
	g[xx].push_back(yy);
}
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++ct;st[++tp]=u;
	for(int v:g[u]){
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(!co[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		++cl;
		while(st[tp]!=u) co[st[tp--]]=cl;
		co[st[tp--]]=cl;
	}
}
int main()
{
//	freopen("dopetobly.in","r",stdin);
//	freopen("dopetobly.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		if(!z){
			add(x,y);add(y+n,x+n);
			add(x+2*n,y+2*n);add(y+3*n,x+3*n);
		}
		else{
			add(x+n,x+2*n);add(x+3*n,x);
			add(x+n,y+3*n);add(y+2*n,x);
			add(x+3*n,y+n);add(y,x+2*n);
			add(y,y+3*n);add(y+2*n,y+n);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n*4;i++){
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(co[i]==co[i+n]||co[i+2*n]==co[i+3*n]){
			printf("NO");return 0;
		}
	}
	printf("YES\n");
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=co[i]<co[i+n],y=co[i+2*n]<co[i+3*n];
		if(x&&!y) printf("A");
		else if(!x&&y) printf("B");
		else if(x&&y) printf("C");
		else printf("D");
	}
	return 0;
}