NOIP2023模拟12联测33 游戏

题目大意

有$n$个物理实验室，第$i$个实验室有$a_i$个人，他们全都在打游戏。

同学$A$可以选择进入一间实验室$i$，然后让其中的所有$a_i$个人停止打游戏。

然后老师$B$可以选择进入一间实验室$j$，然后抓住其所有在打游戏的人。

同学$A$的目标是让老师$B$抓到的人最少，而老师的目标是抓到最多的人。

老师$B$在决策时无法知道同学$A$进入过哪个实验室。

两人都选择最优策略，问老师期望可以抓到多少人，注意两个人的决策都是可以基于概率的。

也就是说，你要找到一个$m$，使得无论老师怎么操作，总存在同学的一种方案使得被抓的人数期望$\le m$；同时无论同学怎么操作，总存在老师的一种方案使得被抓的人数期望$\ge m$。

输出被抓的期望人数，相对误差在$10^{-9}$即视为正确。

$1\le n\le 30,0\le a_i\le 40$

题解

二分答案$mid$，我们只关注同学能否使得被抓人数$\le mid$。

那么，$a_i\le mid$的实验室就无关紧要了，我们只关注$a_i>mid$的实验室。设同学$A$有$p_i$的概率进入实验室$i$，那么如果老师选择进这个实验室，则期望被抓的人数为$(1-p_i)\times a_i$。

所以，对于任意的$a_i$，都要满足$(1-p_i)\times a_i\le mid$，那么我们可以求出每个$p_i$的下界，并加起来看看是否超过$1$。如果超过$1$的话，因为$p_i$的总和要为$1$，那就存在$p_i$不能满足$(1-p_i)\times a_i\le mid$，那么$mid$就不可取；否则，$mid$就是可取的。

假设二分得出的值为$ans$，那么我们来证明$ans$就是答案。

上面已经证明了同学能使期望被抓的人数$\le m$，下面来证明老师能使期望被抓的人数$\ge m$。

假设有$k$个大于$ans$的$a_i$，则由$(1-p_i)\times a_i=ans$可得$p_i=\frac{a_i-ans}{a_i}$，于是$\sum p_i=\sum \frac{a_i-ans}{a_i}=m-ans\sum \frac{1}{a_i}$，$ans=\frac{m-1}{\sum \frac{1}{a_i}}$。

给出老师的一种策略：以$\frac{1}{a_j(\sum \frac{1}{a_i})}$的概率选择进入第$j$个实验室，那么其最坏能抓到的人数为

$$\underset{t=1}{\overset{n}{\min }}(\sum _{j\ne t}\frac{1}{a_j(\sum \frac{1}{a_i})}\times a_j)=\frac{m-1}{\sum \frac{1}{a_i}}=ans$$

其中$t$枚举的是同学选择进入的房间。

那么，这样就可以证明$ans$就是答案。

时间复杂度为$O(n\log v)$，其中$v$为$ans$的值域。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long double eps=1e-12;
int n,mx,a[35];
long long ans;
bool check(long double k){
	long double re=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]<=k) continue;
		re+=1-k/a[i];
	}
	if(re>1) return 0;
	return 1;
}
int main()
{
//	freopen("game.in","r",stdin);
//	freopen("game.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		mx=max(mx,a[i]);
	}
	long double l=0,r=mx,mid;
	while(r-l>=eps){
		mid=(l+r)*0.5;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid;
	}
	printf("%.12Lf",r);
	return 0;
}