NOIP2023模拟9联测30 高爸

原创已于 2023-11-02 16:42:08 修改 · 247 阅读

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#题解 #c++

于 2023-11-02 15:10:20 首次发布

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文章讨论了Shintaro如何使用强化和弱化魔法平衡n条龙的力量值，以最小化操作魔法点数。通过将龙的力量值离散化并利用线段树数据结构，文章提出了一种高效算法解决此问题。

题目大意

$Shintaro\text{Shintaro}$ 有 $n$ 条龙，第 $i$ 条龙的力量值为 $x_i$ 。现在 $Shintaro\text{Shintaro}$ 想与这些龙交朋友。

$Shintaro\text{Shintaro}$ 会使用以下两种魔法来平衡龙的力量值（使某些龙的力量值相等），以免与他交朋友的龙互相打架。

强化魔法：消耗 $a$ 点 $m p$ ，使某条龙的力量值增加 $1$ 点。

弱化魔法：消耗 $b$ 点 $m p$ ，使某条龙的力量值降低 $1$ 点。

在第 $i$ 次， $Shintaro\text{Shintaro}$ 想与前 $i$ 条龙交朋友 $(1≤i≤n)(1\leq i\leq n)$ 。我们有很多种使用魔法的方案，使前 $i$ 条龙力量值相等。请你找到消耗 $m p$ 点数最小的方案，并输出 $m p$ 点数。

$1≤n≤105,1≤a,b≤104,1≤xi≤1091\leq n\leq 10^5,1\leq a,b\leq 10^4,1\leq x_i\leq 10^9$

题解

我们考虑将每条龙的力量值取到何值时代价最小。

对于每一个 $i(1≤i≤n)i(1\leq i\leq n)$ ，将前 $i$ 条龙龙放在数轴上，取一个点 $x$ ，设在 $x$ 之前有 $k$ 条龙，则在 $x$ 之后有 $i - k$ 条龙。那么，我们将 $x$ 往右移一个单位，如果移动后 $x$ 的左边和右边的龙的数量不变，则代价会增加 $ka - (i - k) b$ 。当 $ka - (i - k) b < 0$ 时，显然将 $x$ 往右移一个单位是最优的，我们可以一直右移 $x$ ，直到 $x$ 在第 $k + 1$ 条龙对应的点上，然后继续判断新的 $k$ 是否满足 $ka - (i - k) b < 0$ ，再继续右移，直到不满足 $ka - (i - k) b < 0$ ，此时如果再右移肯定不优。

也就是说，我们要找到第一个 $k$ 使得 $ka−(i−k)b≥0ka-(i-k)b\geq 0$ ，即 $k≥iba+bk\geq\dfrac{ib}{a+b}$ 。因为 $k$ 为整数，所以 $k=⌈iba+b⌉k=\lceil\dfrac{ib}{a+b}\rceil$ ，那么取第 $k$ 条龙的力量值为所有龙最终的力量值即可使代价最小（这里的第 $k$ 条龙指数轴上从小到大的第 $k$ 条龙）。

我们把龙的力量值离散化一下，然后用权值线段树维护前 $i$ 条龙的力量值，还要维护线段树上的每个节点对应的区间中有多少条龙。每次用上面的方法求出 $k$ ，在线段树中求前 $i$ 条龙中第 $k$ 小的龙的力量值，再求出其他龙的力量值变为第 $k$ 小的龙的力量值的代价之和即可。

时间复杂度为 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
const int N=100000;
int n,k,v[N+5],num[N+5],hv[4*N+5];
long long a,b,sum,all,ans,tr[4*N+5];
void ch(int k,int l,int r,int x){
	if(l==r&&l==x){
		++hv[k];
		tr[k]+=num[x];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) ch(lc,l,mid,x);
	else ch(rc,mid+1,r,x);
	hv[k]=hv[lc]+hv[rc];
	tr[k]=tr[lc]+tr[rc];
}
int gtnum(int k,int l,int r,int x){
	if(l==r) return l;
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=hv[lc]) return gtnum(lc,l,mid,x);
	else return gtnum(rc,mid+1,r,x-hv[lc]);
}
void find(int k,int l,int r,int x,int y){
	if(x>y) return;
	if(l>=x&&r<=y){
		all+=hv[k];
		sum+=tr[k];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) find(lc,l,mid,x,y);
	if(y>mid) find(rc,mid+1,r,x,y);
}
int main()
{
//	freopen("c.in","r",stdin);
//	freopen("c.out","w",stdout);
	scanf("%d%lld%lld",&n,&a,&b);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&v[i]);num[i]=v[i];
	}
	sort(num+1,num+n+1);
	int gs=unique(num+1,num+n+1)-num-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		v[i]=lower_bound(num+1,num+gs+1,v[i])-num;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ch(1,1,n,v[i]);
		k=(i*b+a+b-1)/(a+b);
		int tmp=gtnum(1,1,n,k);
		sum=all=0;find(1,1,n,1,tmp-1);
		ans=(1ll*all*num[tmp]-sum)*a;
		sum=all=0;find(1,1,n,tmp+1,n);
		ans+=(sum-1ll*all*num[tmp])*b;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}