NOIP2023模拟9联测30 华二

题目大意

有一个长度为$n$的数列$a_1,a_2,\dots ,a_n$，其中$1\le a_i\le 9$。对于相邻两项的$a_i$和$a_{i+1}$，满足$\gcd (a_i,a_{i+1})=1$时，你可以通过一次操作交换$a_i$和$a_{i+1}(1\le i<n)$。

求可以通过这样的操作获得多少个序列（包括原序列）。输出答案模$998244353$后的值。

$2\le n\le 10^5,1\le a_i\le 9$

题解

对于$a_i=1/5/7$时，这些数可以放在任意位置（注意交换两个相同的数相当于不交换），我们可以将其放在最后处理。下面只考虑不是$1,5,7$的$a_i$。

然后，我们将剩下的数分成$2$的倍数和$3$的倍数：

• $2,4,6,8$
• $3,6,9$

注意任意两个在$[1,9]$中不相同的数的$\gcd$如果不为$1$，则一定能被$2$或$3$整除。

也就是说，在序列中，上面两类数的相对顺序是不变的。而$6$和其他数都不能交换，也就是说$6$的位置已经固定了。

对于两个$6$之间的数，这些数中$2$的倍数和$3$的倍数这两类数没有交集。设有$x$个数是$2$的倍数，有$y$个数是$3$的倍数，那么就相当于要在这一段中选择$x$个位置放$2$的倍数，剩下的位置放$3$的倍数，方案数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{x}\right)$。把每一段的$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{x}\right)$相乘即可。

下面考虑值为$1/5/7$的$a_i$的贡献。设$1$的个数为$w_1$，$5$的个数为$w_2$，$7$的个数为$w_3$，上面得到的答案为$now$，则答案为：

$$ans=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{w_1+w_2+w_3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w_1+w_2+w_3}{w_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w_2+w_3}{w_2}\right)\times now$$

也就是先在$n$个位置中选出$w_{+}{w}_2+w_3$个位置放$1,5,7$，并在这些位置中分配$1,5,7$各自的位置，再乘上其他数的分配方案。

时间复杂度为$O(n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000;
const long long mod=998244353;
int n,t1=0,w1=0,w2=0,w3=0,a[N+5],t[N+5];
long long ans=1,jc[N+5],ny[N+5];
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void init(){
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	ny[N]=mi(jc[N],mod-2);
	for(int i=N-1;i>=0;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;
}
long long C(int x,int y){
	return jc[x]*ny[y]%mod*ny[x-y]%mod;
}
long long solve(int l,int r){
	int v2=0,v3=0;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		if(a[i]%2==0) ++v2;
		else if(a[i]%3==0) ++v3;
	}
	return C(v2+v3,v2);
}
int main()
{
//	freopen("b.in","r",stdin);
//	freopen("b.out","w",stdout);
	init();
	scanf("%d",&n);
	t[++t1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]==1) ++w1;
		else if(a[i]==5) ++w2;
		else if(a[i]==7) ++w3;
		else if(a[i]==6) t[++t1]=i;
	}
	t[++t1]=n+1;
	for(int i=1;i<t1;i++){
		ans=ans*solve(t[i]+1,t[i+1]-1)%mod;
	}
	ans=ans*C(n,w1+w2+w3)%mod;
	ans=ans*C(w1+w2+w3,w1)%mod*C(w2+w3,w2)%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}