2023牛客OI赛前集训营-提高组（第二场）集合

最新推荐文章于 2025-12-12 16:37:00 发布

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文章讲述了如何使用动态规划解决一个计算给定整数范围内非空子集和的乘积对998244353取模的问题，利用扩展欧拉定理优化求解过程，时间复杂度为O(n^3)。

题目大意

给定正整数 $n$ ，求有 $n$ 个元素的集合 ${1,2,…,n}\{1,2,\dots,n\}$ 的所有非空子集和的乘积模 $998244353$ 后的结果。

$1≤n≤2001\leq n\leq 200$

题解

依题意，非空子集和的取值范围为 $[1,n×(n+1)2][1,\dfrac{n\times (n+1)}{2}]$ 。

考虑 $D P$ 。设 $f_{i,j}$ 表示有 $i$ 个元素的集合 ${1,2,…,i}\{1,2,\dots,i\}$ 中非空子集和为 $j$ 的子集数量。那么，可以用 $O(n^3)$ 的时间复杂度求出 $f_{i,j}$ 。

由扩展欧拉定理，可得在求 $f_{i,j}$ 时模数为 $ϕ(998244353)\phi(998244353)$ ，也就是 $998244352$ 。

那么，答案为

$ans=∑i=1n×(n+1)/2ifn,ians=\sum\limits_{i=1}^{n\times (n+1)/2}i^{f_{n,i}}$

这个式子的模数为 $998244353$ 。

于是，问题就解决了。

时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=998244353;
int n,l;
long long ans=1,f[205][40005];
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	l=n*(n+1)/2;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=l;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j>=i) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-i])%(mod-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=l;i++){
		ans=ans*mi(i,f[n][i])%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}