[USACO21DEC] Bracelet Crossings G

洛谷[USACO21DEC] Bracelet Crossings G

题目大意

小$B$有$n$条手链，编号为$1$都$n$，且第$i$条手链的颜色为$i$。这些手链满足以下三个条件：

• 每个手链是一个简单闭合折线，并且第一个点和最后一个点相同
• 没有手链与自身相交
• 没有两条手链相交

在手链摆好后，Farmer John开着拖拉机经过，桌子晃动起来，导致手链四处移动甚至可能断成了多个折线，小$B$还是想检查以上三个条件是否仍然成立。然而，天色已暗，她现在无法看清手链。

但小$B$有手电筒，她选择了$m$条垂线$x=1,x=2,\dots ,x=m$，对于每条直线，她用手电筒从$y=-\infty$扫到$y=+\infty$，按照出现的顺序记录她看到的所有手链的颜色。没有光束穿过任何折线的顶点或同时穿过两条线段。对于每一束光，所有出现的颜色都恰好出现了两次。

求现在这$n$条手链是否可能满足上面的三个条件。

有$t$组数据。

$1\le t\le 50,1\le n\le 50,1\le m\le 50$

题解

首先，检查每个手链是不是连续的，不连续的话直接输出$NO$。

再两两判断一下手链之间是否相交。对于手链$i$和手链$j$，我们可以判断手链是否有包含关系或相离关系。

包含比较好判断，直接看被包含的手链的颜色是否在包含的手链的颜色之间即可。

相离就不好直接判断了，我们可以分别判断。看$i$是否完全在$j$下面或$j$是否完全在$i$下面。如果$i$和$j$在$x$轴的投影上有交集，则只要$i$完全在$j$下面或$j$完全在$i$下面，就是相离关系。如果$i$和$j$在$x$轴的投影上没有交集，则显然不相交，这里也会判定其为相离。

如果既不是包含关系也不是相离关系，则就相交了。

总时间复杂度为$O(\sum n^{2}m)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n,m,lt[105],rt[105],c1[105][105],c2[105][105];
bool baohan(int i,int j){
	if(!(lt[i]<=lt[j]&&rt[i]>=rt[j])) return 0;
	for(int o=lt[j];o<=rt[j];o++){
		if(!(c1[o][i]<c1[o][j]&&c2[o][i]>c2[o][j])) return 0;
	}
	return 1;
}
bool xia(int i,int j){
	for(int o=1;o<=m;o++){
		if(c2[o][i]&&c1[o][j]&&c2[o][i]>c1[o][j]) return 0;
	}
	return 1;
}
bool pd(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!lt[i]) continue;
		for(int j=lt[i];j<=rt[i];j++){
			if(!c1[j][i]) return 0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(!baohan(i,j)&&!baohan(j,i)&&!xia(i,j)&&!xia(j,i)) return 0;
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		memset(lt,0,sizeof(lt));
		memset(rt,0,sizeof(rt));
		memset(c1,0,sizeof(c1));
		memset(c2,0,sizeof(c2));
		for(int i=1,k;i<=m;i++){
			scanf("%d",&k);
			for(int j=1,x;j<=k;j++){
				scanf("%d",&x);
				if(!c1[i][x]) c1[i][x]=j;
				else c2[i][x]=j;
				if(!lt[x]) lt[x]=i;
				rt[x]=i;
			}
		}
		if(!pd()) printf("NO\n");
		else printf("YES\n");
	}
	return 0;
}