定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式）

前置知识：

• 直接积分法
• 牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式

由前置知识，若$G$为$f$的任意一个原函数，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)$$

而求$G$即求$f$的不定积分，那么求定积分的过程就可以转换为先求不定积分再作差。

例题1

计算${\int }_0^1{x}^{2}dx$

解：
\qquad 原式$=\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$

例题2

计算${\int }_{-1}^{1}x\sqrt{x+1}dx$

解：原式$={\int }_{-1}^1(x+1)\sqrt{x+1}dx-{\int }_{-1}^1\sqrt{x+1}dx$

$=\frac{2}{5}(x+1{)}^{\frac{5}{2}}{|}_{-1}^1-\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}{|}_{-1}^1$

$=\frac{2}{5}\times 2^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}\times 2^{\frac{3}{2}}$

$=\frac{4}{15}\sqrt{2}$