前置知识：
牛顿-莱布尼茨公式
由前置知识，若 G G G为 f f f的任意一个原函数，则
∫ a b f ( x ) d x = G ( b ) − G ( a ) \int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a) ∫abf(x)dx=G(b)−G(a)
而求 G G G即求 f f f的不定积分，那么求定积分的过程就可以转换为先求不定积分再作差。
例题1
计算 ∫ 0 1 x 2 d x \int_0^1x^2dx ∫01x2dx
解：
\qquad
原式
=
1
3
x
3
∣
0
1
=
1
3
−
0
=
1
3
=\dfrac 13x^3\bigg\lvert_0^1=\dfrac 13-0=\dfrac 13
=31x3
01=31−0=31
例题2
计算 ∫ − 1 1 x x + 1 d x \int_{-1}^1x\sqrt{x+1}dx ∫−11xx+1dx
解：原式 = ∫ − 1 1 ( x + 1 ) x + 1 d x − ∫ − 1 1 x + 1 d x =\int_{-1}^1(x+1)\sqrt{x+1}dx-\int_{-1}^1\sqrt{x+1}dx =∫−11(x+1)x+1dx−∫−11x+1dx
= 2 5 ( x + 1 ) 5 2 ∣ − 1 1 − 2 3 ( x + 1 ) 3 2 ∣ − 1 1 \qquad\qquad =\dfrac 25(x+1)^{\frac 52}\bigg\lvert_{-1}^1-\dfrac 23(x+1)^{\frac 32}\bigg\lvert_{-1}^1 =52(x+1)25 −11−32(x+1)23 −11
= 2 5 × 2 5 2 − 2 3 × 2 3 2 \qquad \qquad =\dfrac 25\times 2^{\frac 52}-\dfrac 23\times 2^{\frac 32} =52×225−32×223
= 4 15 2 \qquad \qquad =\dfrac{4}{15}\sqrt 2 =1542
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