SDOI2015 序列统计

洛谷P3321 [SDOI2015]序列统计

题目大意

有一个集合$S$，$S$中分元素都是在$0$到$m-1$之间的整数。给你一个整数$x\in [1,m-1]$，求有多少个长度为$n$的序列$A$，满足

$$\prod _{i=1}^n{A}_i=x(\mathrm{mod}m)$$

$1\le n\le 10^9,3\le m\le 8000,1\le x<m$

$m$为质数，保证$S$中的元素不重复。

题解

前置知识：

• 离散对数
• 快速数论变换（$NTT$）

将集合$S$中的每个元素和$x$都取离散对数，那么原问题就变为取$n$个数，使得

$$\sum _{i=1}^n{\text{Ind}}_g(A_i)={\text{Ind}}_g(x)(\mathrm{mod}\varphi (m))$$

因为$m$比较小，所以可以$O(m^2)$求原根。

因为$m$为质数，所以$\varphi (m)=m-1$。

用生成函数$G(x)$表示每个值的个数，则

$$G(x)=\sum _{i\in S}{x}^{{\text{Ind}}_g(i)}$$

那么取$n$次数后的生成函数可表示为

$$F(x)=[G(x){]}^n$$

那么答案就为所有次数为${\text{Ind}}_g(x)$（此处的$x$为题目中的$x$）的项数的系数之和。

用$NTT$优化多项式乘法，用快速幂求多项式的幂即可。

时间复杂度为$O(m^2+nm\log n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s1,s[10005],ind[10005];
long long w,wn,f[50005],g[50005],a1[50005],a2[50005];
const long long G=3,mod=1004535809;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void ch(long long *a,int l){
	for(int i=1,j=l/2;i<l-1;i++){
		if(i<j) swap(a[i],a[j]);
		int k=l/2;
		while(j>=k){
			j-=k;k>>=1;
		}
		j+=k;
	}
}
void ntt(long long *a,int l,int fl){
	for(int i=2;i<=l;i<<=1){
		if(fl==1) wn=mi(G,(mod-1)/i);
		else wn=mi(G,mod-1-(mod-1)/i);
		for(int j=0;j<l;j+=i){
			w=1;
			for(int k=j;k<j+i/2;k++,w=w*wn%mod){
				long long t=a[k],u=w*a[k+i/2]%mod;
				a[k]=(t+u)%mod;
				a[k+i/2]=(t-u+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(fl==-1){
		long long ny=mi(l,mod-2);
		for(int i=0;i<l;i++) a[i]=a[i]*ny%mod;
	}
}
void dd(long long *v1,long long *v2,int l){
	int len=1;
	while(len<2*l) len<<=1;
	for(int i=0;i<l;i++){
		a1[i]=v1[i];a2[i]=v2[i];
	}
	for(int i=l;i<len;i++) a1[i]=a2[i]=0;
	ch(a1,len);ch(a2,len);
	ntt(a1,len,1);ntt(a2,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) a1[i]=a1[i]*a2[i]%mod;
	ch(a1,len);
	ntt(a1,len,-1);
	for(int i=0;i<len;i++) v1[i]=0;
	for(int i=0;i<len;i++) v1[i%(l-1)]=(v1[i%(l-1)]+a1[i])%mod;
}
int find(int e){
	for(int i=2;i<=e;i++){
		for(int j=1,l=i;j<=e;j++,l=l*i%e){
			if(l==1){
				if(j==e-1) return i;
				break;
			}
		}
	}
}
void ksm(int t,int l){
	for(;t;t>>=1){
		if(t&1) dd(f,g,l);
		dd(g,g,l);
	}
}
int main()
{
	int n,m,x;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s1);
	int gt=find(m);
	for(int i=0,l=1;i<m-1;i++){
		ind[l]=i;
		l=l*gt%m;
	}
	for(int i=1;i<=s1;i++){
		scanf("%d",&s[i]);
		if(s[i]==0){
			--i;--s1;continue;
		}
		s[i]=ind[s[i]];
		++g[s[i]];
	}
	f[0]=1;
	ksm(n,m);
	printf("%lld",f[ind[x]]);
	return 0;
}