[SNOI2017]遗失的答案

洛谷P5366 [SNOI2017]遗失的答案

题目大意

有$n$个皮肤，编号为$1$到$n$。小皮球买了若干个皮肤，这些皮肤的编号的最大公约数为$G$，最小公倍数为$L$。

但是，他忘了自己买了哪些皮肤。现在，有$q$组询问，每组询问有一个数字$x$，求有多少种合法的方案中，购买了皮肤$x$？

对于每组询问，输出答案模$10^9+7$后的值。

$1\le n,G,L\le 10^8$，$1\le q\le 10^5$，$1\le x\le 10^8$

题解

前置知识：快速沃尔什变换（$FWT$）

转化题意

题意可转化为：求在$1$到$\lfloor \frac{n}{G}\rfloor$中选择最大公约数为$1$、最小公倍数为$\frac{L}{G}$的合法方案中，购买的皮肤$\frac{x}{G}$的方案的数量。

当然，如果$L\nmid G$或者$x\nmid G$，则方案数为$0$。

下面，$L=\frac{L}{G},x=\frac{x}{G}$

状压$DP$

因为$L\le 10^8$，分解质因子后，质因子的数量不超过$8$个。考虑状压$DP$。

若要保证最大公约数为$1$，则对于每一个$L$的质因子，都应存在至少一个皮肤，使得这个皮肤的编号分解质因数后这个质因子的指数为$0$。

若要保证最小公倍数为$L$，则对于每一个$L$的质因子，都应存在至少一个皮肤，使得这个皮肤的编号分解质因数后这个质因子的指数与$L$的相同。

设$L$的质因子个数为$k$，则状压的长度为$2k$。前$k$个位置表示是否有数的这个质因子的指数为$0$，后$k$个位置表示是否有数的这个质因子的指数达到上界。这个状态表示的对象是皮肤的编号，而需要用到的皮肤编号只有$L$的因子。

看似最多有$2^{2k}$种状态，但如果质因子的指数为$1$，则一个数要么为$0$，要么达到上界。而如果不是$1$，那$k$就不再能取到$8$。指数不是$1$的质因子个数越多，$k$就越小。经过计算，最终的总状态数在$650$之内。

设$f_{i,j}$表示前$i$个数选若干个数后状态为$j$的方案数，$g_{i,j}$表示第$i$个数及之后的数中选若干个数后状态为$j$的方案数。

设第$i$个数的状态为$st$，则$x$为第$i$个数时的答案为

$$ans[i]=\sum _{S|st=2^{2k}-1}\sum _{x|y=S}{f}_{i-1,x}\times g_{i+1,y}$$

$FWT$

那怎么求上面这个式子呢？用$FWT$即可。

那么，因为$x$一定是$G$的因数，所以在$ans$数组中一定能找到对应的答案。那么查询就是$O(1)$的了。

时间复杂度为$O(\sqrt{L}+v\times 2^{2k}\times 2k+q\log v)$。其中$v$表示状态数，$k$表示$L$的质因子个数。$v$的最大值为$650$，$k$的最大值为$8$。因为$v$和$k$不能同时取到最大值，而且跑不满，时限有$2s$，所以还是可以过的。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,G,L,qt,all,cnt=0,p[15],q[15],v[655],num[100005],s[1<<16];
int w[655],ans[655],f[655][1<<16],g[655][1<<16],h[655][1<<16];
const int mod=1000000007;
void pt(int x){
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0){
			p[++p[0]]=i;
			while(x%i==0){
				x/=i;++q[p[0]];
			}
		}
	}
	if(x>1){
		p[++p[0]]=x;q[p[0]]=1;
	}
}
int gt(int x){
	int re=0;
	for(int i=1;i<=p[0];i++){
		int vt=0;
		while(x%p[i]==0){
			x/=p[i];++vt;
		}
		if(vt==0) re|=(1<<i-1);
		if(vt==q[i]) re|=(1<<i-1+p[0]);
	}
	return re;
}
int mi(int t,int v){
	if(!v) return 1;
	int re=mi(t,v/2);
	re=1ll*re*re%mod;
	if(v&1) re=1ll*re*t%mod;
	return re;
}
void fwt_or(int *e,int fl){
	for(int s=2;s<=all;s<<=1){
		int mid=s>>1;
		for(int bl=0;bl<all;bl+=s){
			for(int i=0;i<mid;i++){
				e[bl+mid+i]=(e[bl+mid+i]+1ll*fl*e[bl+i]+mod)%mod;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&G,&L);
	if(L%G){
		int x;
		scanf("%d",&qt);
		while(qt--){
			scanf("%d",&x);
			printf("0\n");
		}
		return 0;
	}
	L/=G;n/=G;pt(L);
	for(int i=1;i*i<=L&&i<=n;i++){
		if(L%i==0){
			num[++num[0]]=i;
			if(L/i<=n&&L/i!=i) num[++num[0]]=L/i;
		}
	}
	for(int i=1;i<=num[0];i++){
		++s[gt(num[i])];
	}
	all=1<<(p[0]*2);
	for(int i=0;i<all;i++){
		if(s[i]){
			v[++cnt]=i;w[cnt]=mi(2,s[i])-1;
		}
	}
	f[0][0]=g[cnt+1][0]=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		for(int j=0;j<all;j++){
			f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j])%mod;
			f[i][j|v[i]]=(f[i][j|v[i]]+1ll*f[i-1][j]*w[i]%mod)%mod;
		}
	}
	for(int i=cnt;i;i--){
		for(int j=0;j<all;j++){
			g[i][j]=(g[i][j]+g[i+1][j])%mod;
			g[i][j|v[i]]=(g[i][j|v[i]]+1ll*g[i+1][j]*w[i]%mod)%mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<=cnt;i++){
		fwt_or(f[i],1);fwt_or(g[i+1],1);
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		for(int j=0;j<all;j++){
			h[i][j]=1ll*f[i-1][j]*g[i+1][j]%mod;
		}
		fwt_or(h[i],-1);
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		for(int j=0;j<all;j++){
			if((j|v[i])==all-1) ans[i]=(ans[i]+h[i][j])%mod;
		}
		ans[i]=1ll*ans[i]*mi(2,s[v[i]]-1)%mod;
	}
	int x;
	scanf("%d",&qt);
	while(qt--){
		scanf("%d",&x);
		if(x%G){
			printf("0\n");
			continue;
		}
		x/=G;
		if(L%x||x>n){
			printf("0\n");
			continue;
		}
		int vt=lower_bound(v+1,v+cnt+1,gt(x))-v;
		printf("%d\n",ans[vt]);
	}
	return 0;
}