简单的无理函数的不定积分习题

前置知识：简单的无理函数的不定积分

习题

题1： 计算$\int x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$

解：
\qquad 令$t=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，则$x=\frac{t^2-1}{t^2+1}$，$dx=\frac{4t}{(t^2+1{)}^2}dt$，于是

\qquad 原式$=\int \frac{t^2-1}{t^2+1}\cdot t\cdot \frac{4t}{(t^2+1{)}^2}dt=\int \frac{4t^4-4t^2}{(t^2+1{)}^3}dt$

$=\int [\frac{4}{t^2+1}-\frac{12}{(t^2+1{)}^2}+\frac{8}{(t^2+1{)}^3}]dt$

$=4\arctan t-12\times \frac{1}{2}(\frac{t}{t^2+1}+\arctan t)+8\times \frac{1}{4}[\frac{t}{(t^2+1{)}^2}+\frac{3}{2}(\frac{t}{t^2+1}+\arctan t)]+C$

$=\arctan t-\frac{3t}{t^2+1}+\frac{2t}{(t^2+1{)}^2}$

$=\arctan (\sqrt{\frac{1+x}{1-x}})-\frac{3\sqrt{(1-x)(1+x)}}{2}+\frac{(1-x)\sqrt{(1-x)(1+x)}}{2}+C$

题2： 计算$\int x\sqrt{x^4+2x^2-1}dx$

解：
\qquad 令$x^2+1=\sqrt{2}\sec t$，则$\sqrt{x^4+2x^2-1}=\sqrt{2{\sec }^{2}t-2}=\sqrt{2}\tan t$，$d(x^2)=\sqrt{2}\sec t\cdot \tan tdt$

\qquad 原式$=\frac{1}{2}\int \sqrt{x^4+2x^2-1}d(x^2)=\int \tan t\cdot \sec t\cdot \tan tdt$

$=\int {\tan }^{2}t\cdot \sec tdt=\tan t\sec t-\int {\sec }^{3}tdt$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan t\sec t-\frac{\sqrt{2}}{2}\int \frac{1}{{\cos }^{3}t}dt$

其中$\int \frac{1}{{\cos }^{3}t}dt=\int \frac{\cos t}{{\cos }^{4}t}dt=\int \frac{1}{(1-{\sin }^{2}t{)}^2}d(\sin t)=\frac{1}{4}\int (\frac{1}{1-\sin t}+\frac{1}{1+\sin t}{)}^{2}d(\sin t)$

$=\frac{1}{4}\int [\frac{1}{(1-\sin t{)}^2}+\frac{1}{(1+\sin t{)}^2}-\frac{2}{(1-\sin t)(1+\sin t)}]dt$

$=\frac{1}{4}[\frac{1}{1-\sin t}-\frac{1}{1+\sin t}-\ln (1-\sin t)+\ln (1+\sin t)]+C$

所以原式$=\tan t\sec t-\frac{1}{4}[\frac{1}{1-\sin t}-\frac{1}{1+\sin t}-\ln (1-\sin t)+\ln (1+\sin t)]+C$

$=\frac{1}{4}(x^2+1)\sqrt{x^4+2x^2-1}+\frac{1}{4}\ln (x^2+1-\sqrt{x^4+2x^2-1})-\frac{1}{4}\ln (x^2+1+\sqrt{x^4+2x^2-1})+C_1$

$=\frac{1}{4}(x^2+1)\sqrt{x^4+2x^2-1}-\frac{1}{2}\ln (x^2+1+\sqrt{x^4+2x^2-1})+C$

注：

• $\tan t\sec t=\frac{1}{2}(x^2+1)\sqrt{x^4+2x^2-1}$
• $\sin t=\frac{\tan t}{\sec t}=\frac{(x^2+1)}{\sqrt{x^4+2x^2-1}}$
• 最后一步根据平方差公式将$\ln$值取反，然后会多一个常数，归到$C$中即可

总结

在做这一类题的时候，要善于换元。因为有较大的计算量，所以要细心且有足够的耐心。不过，一般考试少有这类题目，所以了解即可，不必过多地钻研。