ARC137C Distinct Numbers

ARC137C Distinct Numbers

题目大意

给一个长度为$n$的序列$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$，数列中的数两两不同。
$Alice$和$Bob$玩一个游戏，他们轮流玩，$Alice$先玩。每一轮，玩家可以做以下操作：

• 选择当前最大的元素，将它替换为一个更小的非负整数，注意要保证替换后序列中仍然两两不同。

如果某个玩家不能操作，则他失败，求获胜的玩家是谁。假设双方都采取最优策略。

$2\le n\le 3\times 10^5$
$0\le a_1<a_2<\cdots <a_n\le 10^9$

题解

我们可以分讨论。

$a_n-a_{n-1}>1$

考虑序列为$(a_1,a_2,\dots a_{n-1},a_{n-1}+1)$的局面。

如果是必胜态，那么这个状态一定可以转移到一个必败态，那么原序列也可以转移到一个必败态，那么原序列就是必胜态
如果是必败态，那么因为原序列可以转移到它，所以原序列是必胜态

所以在这种情况下，$Alice$必胜。

$a_n-a_{n-1}=1$

我们可以发现，双方都要维持这个状态，否则就会变为对手必胜。

对于每次操作，$a_n-a_{n-1}=1$。那么每操作一次，序列的最大值就会减一。而最大值为$n-1$时就无法在操作了，那么

• 如果$a_n-n$为偶数，那么$Alice$胜
• 如果$a_n-n$为奇数，那么$Bob$胜

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,a[300005];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	if(a[n]-a[n-1]>1||(a[n]-n)%2==0) printf("Alice");
	else printf("Bob");
	return 0;
}