第二类换元法三角代换专项训练

前置知识：第二类换元法

题1： 计算$\int \frac{1}{(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}dx$

解：
\qquad 令$x=a\sin t$，$t=\arcsin \frac{x}{a}$，$dx=a\cos tdt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{(a\cos t{)}^3}\cdot a\cos tdt=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

$=\frac{1}{a^2}\tan t+C=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C$

题2： 计算$\int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx$

解：
\qquad 令$x=\tan t$，$t=\arctan x$，$dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{{\tan }^{2}t\cdot \frac{1}{\cos t}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}dt=\int \frac{1}{{\tan }^{2}t\cos t}dt$

$=\int \frac{1}{\tan t}\cdot \frac{1}{\sin t}dt=\int \cot t\csc tdt$

$=-\csc t+C=-\sqrt{1+{\cot }^{2}t}+C$

$=-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+C=-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C$

题3： 计算$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx$

解：
\qquad 令$x=a\sec t$，$dx=a\sec t\tan tdt$

\qquad 原式$=\int \frac{1}{\tan t}\cdot \sec t\tan tdt=\int \sec tdt$

$=\ln |\sec t+\tan t|+C=\ln |\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C$

总结

要学会观察被积函数，遇到有根号且根号的形式为类似$\sqrt{a^2\pm x^2}$或$\sqrt{x^2\pm a^2}$的，一般都可以用三角代换来做。