欧拉函数简介

欧拉函数

在数论中，对正整数$n$，欧拉函数是小于$n$的正整数中与$n$互质的数的个数。

欧拉函数的性质

性质1： 若$m=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$（其中$p_i$为质数），则

$\varphi (m)=m\prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$

所以我们可以用欧拉筛来筛出区间$[1,n]$内的$\varphi (i)$。

void init(){
	ph[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!z[i]){
			p[++p[0]]=i;
			ph[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				ph[i*p[j]]=ph[i]*p[j]%mod;
				break;
			}
			ph[i*p[j]]=ph[i]*(p[j]-1)%mod;
		}
	}
}

性质2： $m=\sum _{d|m}\varphi (\frac{m}{d})=\sum _{d|m}\varphi (d)$

证明：

\qquad 对于所有的$1\le a\le n$，存在$d|m$，满足$\gcd (a,m)=d$，即$\gcd (\frac{a}{d},\frac{m}{d})=1$

\qquad 由此可得$1$到$m$的每一个数$a$都在$\varphi (\frac{m}{\gcd (a,m)})$中被统计了一次

\qquad 所以$m=\sum _{d|m}\varphi (\frac{m}{d})=\sum _{d|m}\varphi (d)$

性质3： 欧拉函数是积性函数，即对于$n,m$，若$n,m$互质，则$\varphi (nm)=\varphi (n)\times \varphi (m)$

证明：
$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$，$p_i$为质数

$m=q_1^{b_1}{q}_2^{b_2}\cdots q_t^{b_t}$，$q_i$为质数

\qquad 则$\varphi (n)=\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$，$\varphi (m)=\prod _{i=1}^t(1-\frac{1}{q_i})$

\qquad 因为$n,m$互质，所以$p,q$互不相等

\qquad 所以$\varphi (nm)=nm\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\times \prod _{i=1}^t(1-\frac{1}{q_i})=\varphi (n)\times \varphi (m)$