函数的间断点

函数的间断点

函数$f(x)$在$x_0$不连续，但$y=f(x)$在$x_0$的某个空心邻域有定义，则称$x_0$为$f(x)$的间断点。

第一类间断点

第一类间断点左右极限都存在。

• 可去间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$
• 跳跃间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$

第二类间断点

第二类间断点左右极限至少有一个不存在。

• 无穷间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$和$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$至少有一个是无穷
• 振荡间断点：$\lim f(x)$振荡不存在，如$\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x$

例题

$x=1$为函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$的$\underline{}$间断点。

解：
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1}{x-2}=-2$

\qquad因为$f(x)$在$x=1$无定义，极限值$\ne$函数值，所以$x=1$为可去间断点