三角函数公式

三角函数的定义

	锐角三角函数	任意角三角函数
正弦	$\sin A=\frac{a}{c}$	$\sin \theta =\frac{y}{r}$
余弦	$\cos A=\frac{b}{c}$	$\cos \theta =\frac{x}{r}$
正切	$\tan A=\frac{a}{b}$	$\tan \theta =\frac{y}{x}$
余切	$\cot A=\frac{b}{a}$	$\cot \theta =\frac{x}{y}$
正割	$\sec A=\frac{c}{b}$	$\sec \theta =\frac{r}{x}$
余割	$\csc A=\frac{c}{a}$	$\csc \theta =\frac{r}{y}$

函数的关系

• $\tan \alpha \cot \alpha =1$
• $\sin \alpha \csc \alpha =1$
• $\cos \alpha \sec \alpha =1$
• $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

三角函数公式

诱导公式

公式1

$\sin (2k\pi +\alpha )=\sin \alpha (k\in Z)$
$\cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha (k\in Z)$
$\tan (2k\pi +\alpha )=\tan \alpha (k\in Z)$
$\cot (2k\pi +\alpha )=\cot \alpha (k\in Z)$

公式2

$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$
$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
$\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$
$\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha$

公式3

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$
$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$
$\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$

公式4

$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$
$\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha$

公式5

$\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$
$\cos (2\pi -\alpha )=\cos \alpha$
$\tan (2\pi -\alpha )=-\tan \alpha$
$\cot (2\pi -\alpha )=-\cot \alpha$

公式6

$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha \cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha \tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha \cot (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\tan \alpha$

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha \cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha \tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha \cot (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$

$\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cos \alpha \cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=\sin \alpha \tan (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha \cot (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\tan \alpha$

$\sin (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\cos \alpha \cos (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\sin \alpha \tan (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha \cot (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$

口诀：奇变偶不变，符号看象限。
\qquad如果加的常数是$\frac{\pi }{2}$的奇数倍，则函数名称要变，正弦边余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。是偶数倍则不变。

\qquad因为$\alpha$是任意角，在记公式的时候，我们不妨将$\alpha$看作第一象限的角，那么此时$\sin \alpha ,\cos \alpha \tan \alpha ,\cot \alpha$都为正。然后根据原函数的角度所在的象限来判断新函数的符号。

\qquad举例：对于$\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )$，首先$\frac{3\pi }{2}$是$\frac{\pi }{2}$的三倍，所以要变函数名；又因为当$\alpha$的终边在第一象限的时候$\frac{3\pi }{2}+\alpha$在第四象限，而正弦函数在第四象限值为负，所以$\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cos \alpha$。

倍角公式

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2\sin \alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

降幂公式

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )$

半角公式

$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

正负由$\frac{\alpha }{2}$所在象限决定。因为带根号的数一定是非负数，所以可以根据原函数在对应象限的正负来判断新函数的正负。

和差公式

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

积化和差公式

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha +\beta )]$

$\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$

和差化积公式

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

口诀
正加正，正在前；余加余，余并肩。
正减正，余在前；余减余，负正弦。

万能公式

$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$