求最大值和最小值
求f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上最大值和最小值的方法：
- 求出所有驻点和不可导点x1,x2,x3…x_1,x_2,x_3\dotsx1,x2,x3…
- 计算f(x1),f(x2),f(x3)…f(x_1),f(x_2),f(x_3)\dotsf(x1),f(x2),f(x3)…和f(a),f(b)f(a),f(b)f(a),f(b)的值
- 比较大小
例1
求f(x)=(x−5)x23f(x)=(x-5)\sqrt[3]{x^2}f(x)=(x−5)3x2在[−2,3][-2,3][−2,3]上的最值
解：f′(x)=x23+23(x−5)1x3=5(x−2)3x3f'(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac 23(x-5)\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=\dfrac{5(x-2)}{3\sqrt[3]{x}}f′(x)=3x2+32(x−5)3x1=33x5(x−2)
可能极值点：x1=0,x2=2x_1=0,x_2=2x1=0,x2=2
f(0)=0,f(2)=−343,f(−2)=−743,f(3)=−293f(0)=0,f(2)=-3\sqrt[3]4,f(-2)=-7\sqrt[3]4,f(3)=-2\sqrt[3]9f(0)=0,f(2)=−334,f(−2)=−734,f(3)=−239
所以最大值为000，最小值为−743-7\sqrt[3]4−734
例2
函数f(x)=13x3−2x2+5f(x)=\dfrac 13x^3-2x^2+5f(x)=31x3−2x2+5在[−2,2][-2,2][−2,2]的最大值为‾\underline{\qquad}
解：f′(x)=x2−4x=x(x−4)f'(x)=x^2-4x=x(x-4)f′(x)=x2−4x=x(x−4)
可能的极值点：x1=0,x2=4x_1=0,x_2=4x1=0,x2=4
f(0)=5,f(4)=−173,f(−2)=−173,f(2)=−13f(0)=5,f(4)=-\dfrac{17}{3},f(-2)=-\dfrac{17}{3},f(2)=-\dfrac 13f(0)=5,f(4)=−317,f(−2)=−317,f(2)=−31
所以最大值为555
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