快速幂详解

tanjunming2020

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分类专栏：算法文章标签：算法

于 2022-09-15 16:36:58 首次发布

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快速幂是一种在大数运算中高效求解a^b的方法。通过二分思想，将a^b转化为a^(b/2)*a^(b/2)，当b为奇数时再乘以a。使用递归或迭代方式，可以在O(logb)的时间复杂度内完成计算。给出的代码示例展示了如何用C++实现快速幂算法。

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快速幂是在 $a, b$ 很大时快速求出 $a^b$ 的一种方法。那怎么用快速幂求 $a^b$ 呢？

我们可以采用二分的思想。首先，要求 $a^b$ ，我们可以先求 $a⌊b/2⌋a^{\lfloor b/2\rfloor}$ ，设这个值为 $p$ ，则

如果 $b$ 为奇数，则 $a^b=p*p*a$
如果 $b$ 为偶数，则 $a^b=p*p$

也就是说，我们要求 $a⌊b/2⌋a^{\lfloor b/2\rfloor}$

于是，根据这个思想，我们可以设函数 $mi (a, b)$ 表示 $a$ 的 $b$ 次方，则可以推出式子：

$b=0mi(a,b)=\left\{\begin{matrix}mi(a,\frac{b-1}{2})\times mi(a,\frac{b-1}{2})\times a，\qquad\qquad b为奇数 \\ mi(a,\frac{b}{2})\times mi(a,\frac{b}{2})，\qquad\qquad b为偶数且b\neq 0\\1，\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ b=0\end{matrix}\right.$

于是，我们就可以用 $O (l o g b)$ 的时间复杂度求出 $a^b$ 的值了。

long long mi(long long a,long long b){
	if(b==0) return 1;
	long long re=mi(a,b/2);
	re=re*re%mod;
	if(b%2) re=re*a%mod;
	return re;
}