343. Integer Break

https://leetcode.com/problems/integer-break/description/

题目：整数拆分。

解法一 思路：拆成尽量多的3。

证明：
>=
得：当把输入的n拆分成几个相等的数时它们的积最大。

那么问题来了，拆分成几个呢？

为了方便使用导数，我们先假设我们可以把n拆分成实数。那么设每一个数为x,则一共有n/x个数。

设它们的积为f(x),则f(x)=x(n/x)，那么怎么求f(x)最大值呢？求导数！

f′(x)=(n/x2) * x(n/x) * (1-lnx)

当x=e时取极大值。

而我们题目里规定x为整数，那么我们只需要取的x越靠近e越好。所以取3是最好的，如果取不到3就取2。

幂运算复杂度为O(lgn)，所以这个算法复杂度为O(lgn)。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
    if(n == 2) return 1;
    if(n == 3) return 2;
    if(n == 4) return 4;
    int ret = 1;
    while( n>4 )
    {
        ret *= 3;
        n -= 3;
    }
    return ret * n;
    }
};

解法二： dp

令dp[n]为n对应的最大积。

那么递推方程就是：dp[n]=max(i*dp[n-i],i*(n-i))(其中i从1到n-1)。

边界:dp[2]=1;

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
      int dp[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=1;
       for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=-1;
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i]=max(j*dp[i-j],max(dp[i],j*(i-j)));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};