最大子序列和

问题描述：

给定N个整数（有正有负），求它的最大子序列和，若全是负数则返回0。

例如：-84 33 -40 36 -34 4 5 88 74 -29

这10个数的最大子序列和是 173（74+88+4+5+（-34）+36）

解法：

1）穷举求解（三次循环，复杂度O(n^3)）

for(i=0;i!=n;i++)/*对数组的元素全部遍历*/
{
 	for(j=i+1;j!=n;++j)/*从下一个位置开始遍历*/
 	{
 		sum=0; /*每次求上面两段位置和之前清0*/
 		for(k=i;k<=j;++k)/*求这两段位置的和*/
 		{
   			sum+=a[k];
   			if(sum>max)/*如果比最大值的话，记录下来*/
   			{
  				 max=sum;
   			}
 		}
	}
}

2）方法一的改进(二次循环，复杂度:O(n^2))

其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法：

int MaxSequenceSum(int a[],int n)
{
 int ThisSum,MaxSum;            //ThisSum保存当前子序列和，MaxSum保存最大子序列和 
 int i,j;
 MaxSum = 0;
 for(i = 0;i < n;i++)
  {
   ThisSum = 0;                      //重要
   for(j = i;j < n;j++)
    {
     ThisSum +=a[j];
     if(ThisSum > MaxSum)     //更新最大子序列和 
      MaxSum = ThisSum;
    }
  }
 return MaxSum;
}

3)线性算法

long int cSum = 0,MaxSum = 0;
		for(int i =0;i < n;i++)
		{
			scanf("%ld",&tmp);
			if(i == 0)
				MaxSum = tmp;//若不加这句，对于全是负数的情况输出的是0 
			cSum += tmp;
			if(cSum > MaxSum)
				MaxSum = cSum;
			if(cSum < 0)
				cSum = 0;
		}
		printf("%ld\n",MaxSum);

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后， temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。