计算多边形的斜外包矩形

在地图制图时，有时需要依据多边形的长轴方向决定文字注记的轴线，如下图

为此达到上述目的，需要计算多边形的长轴方向。对不规则多边形计算长轴方向，一个可行的办法是计算出多边形的最小斜外包矩形，并根据该斜外包矩形的长边，来计算轴线。

斜外包矩形计算的总体思路：

1、设多边形顶点数为n，编号为1-n，以12作为参考边

2、将参考边以起始点(x1,y1)为轴逆时针旋转θ，使得L12边平行于x轴，旋转后的多边形各顶点坐标为(x1,y1),(x2',y2'),……,(xn',yn')

3、外包矩形左下角坐标为(min{xn'},min{yn'}),右上角角坐标为(max{xn'},max{yn'})

4、记录外包矩形的面积，长中轴

5、将外包矩形以起始点(x1,y1)为轴顺时针旋转θ（复原），求得复原后外包矩形的坐标

6、以23、34、……、n1依次作为参考边，重复上述过程

7、最终将面积最小者作为最小斜外包矩形，进行输出

需要用到的公式：

平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式

x'=xcos(θ)-ysin(θ)
y'=ycos(θ)+xsin(θ)

由于本需求中，并非对坐标绕坐标系原点旋转，所以需要对上述公式进行变换：

设点(x,y)绕点(x1,y1)逆时针旋转θ角，旋转后的点坐标(x',y')计算公式为：

x'=(x - x1)cos(θ) - (y - y1)sin(θ) + x1
y'=(y - y1)cos(θ) + (x - x1)sin(θ) + y1

对应的，复原时，需要将外包矩形的顶点(x',y')绕点(x1,y1)再顺时针旋转θ角，这样得到的复原后斜外包矩形的顶点坐标(x'',y'')计算公式为：

x'' = (x' - x1)cos(θ) + (y' - y1)sin(θ) + x1
y'' = (y' - y1)cos(θ) - (x' - x1)sin(θ) + y1

多边形与最小斜外包矩形叠加效果如下：

需要留意的是，本算法中，斜外包矩形旋转的角度，局限于原多边形每一条边的方位角，也就是说斜外包矩形一定与多边形的某一条边重合或者平行，但实际情况中，可能存在不平行的情况。考虑到本算法已经能满足生成倾斜注记需要，对这种特殊情况未做进一步优化调整。