采用动态规划来处理有向无环图最短路径问题，c++实现

需求描述

如图，在一个无环有向图中，找到起点0到终点的最短路径

实现思路

1. 设s1,s2,…, st 是一条最短路径
2. 假设s1，s2，已求出，则 s1，s2,…,st的问题则为 s2,…,st的问题
3. 以此类推，可以将一条最短路径划分成多个子路径来求解
4. 设公式 d(s, v) = Csv 为从s到v的权值为Csv
5. 根据子问题的解的最小值即问题的最小值得出
6. d(s, v) = min{d(s, u) + Cuv}
7. 采用邻接矩阵来存储图数据
8. 使用两个以为数组分别存储边的权值和路径，路径表示能到达当前下标的节点的点最小的权值的点
9. 当将数据处理完后会得到如下表：
   
10. 回溯即可得到路径

代码实现

// 图的最短路径问题
// 1.设s1,s2,..., st 是一条最短路径
// 2. 假设s1，s2，已求出，则 s1，s2,...,st的问题则为 s2,...,st的问题
// 因此，可以划分子问题 1、d(s,v) = Csv（表示从点s到点v的最短距离），最小距离公式2、d(s, v) = min{d(s, u) + Cuv}

#include <iostream>
using namespace std;
int arc[9][9];
const int MAX = 1000; // 设置最大权值不会超过1000 

// 节点个数，起点下标，终点下标 
int shortPath(int n, int end) {
	int i, j;
	int len[n], path[n];
	// 初始化 
	for (i = 1; i < n; i++) {
		len[i] = MAX;
		path[i] = -1; 
	}
	// 设置起点 
	len[0] = 0;
	path[0] = -1;
	// 当前待处理顶点,终点 
	for (j = 1; j < n; j++) {
		// 其他顶点到待处理顶点，起点 
		for (i = j-1; i >= 0; i--) {
			//  公式2取最小值，len[j]表示目前节点的路径长度值 
			if (len[i] + arc[i][j] < len[j]) {
				// 比之前的小，重新存储更小的 
				len[j] = len[i] + arc[i][j];
				// 到节点j最近的节点i时，0-j取最短距离 
				path[j] = i;
			}
		}
	}
	cout<<"输出终点"<<end;
	i = end;
	while(path[i] >= 0) {
		cout<<"<-"<<path[i];
		// 向前走 
		i = path[i];
	};
	return len[end-1];
}
// 输出得到的矩阵
void showWeight(int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) 
			cout<<arc[i][j]<<"\t";
		cout<<endl;
	}
}

int main() {
	// 定义矩阵
	int i, j, k, start, end;
	int weight;
	int N;
	int count;
	cout<<"输入边的数量和节点数量";
	cin>>count>>N;
	for (i = 0; i < N; i++)
	 	for (j = 0; j < N; j++)
	 		arc[i][j] = MAX; 
	 // 初始化数据
	 for (k = 0; k < count; k++)  {
	 	cout<<"请输入边的两个顶点和权值";
		 cin>>i>>j>>weight;
		 arc[i][j] = weight;
	 }
	 showWeight(N);
	 cout<<"输入终点";
	cin>>end;
	 shortPath(N, end);
	 return 0;
}

输出结果：