[fzu]P2177 特殊的数矩乘快速幂

最新推荐文章于 2018-07-28 10:04:32 发布

原创最新推荐文章于 2018-07-28 10:04:32 发布 · 745 阅读

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本文探讨了一个涉及组合数学的复杂问题——求解一个特定条件下的n位数的数量，该条件包括数字的奇偶性和特定数字的出现次数。通过引入状态压缩和矩阵快速幂等技术，实现了一种高效的算法解决方案，最终使用矩阵运算优化了计算过程，显著减少了运行时间。

题意很简单：一个n位数，它的各位都是奇数，而且有偶数个7以及偶数个9，问这样的n位数有多少个（对1e9+7取模）。多组数据，组数t<=1W，n<=1e18有点大……

题目还好吧不算太难，主要是做了一些优化，换句话说也许这题考的不是矩阵快速幂呢？

C-C C-V：

/*
  用s[i=1..10^18,0..1,0..1]表示当前有i位，0/1表示有偶数/奇数个7，另一对0/1表示9
    s[i,0,0]=s[i-1,0,0]*3+s[i-1,0,1]+s[i-1,1,0]
    s[i,1,1]=s[i-1,1,1]*3+s[i-1,0,1]+s[i-1,1,0]
    s[i,1,0]=s[i-1,1,0]*3+s[i-1,0,0]+s[i-1,1,1] (1)
    s[i,0,1]=s[i-1,0,1]*3+s[i-1,0,0]+s[i-1,1,1] (2)
    初值的话s[1,0,1]=s[1,1,0]=1; s[1,0,0]=3; s[1,1,1]=0
  然后发现s[i,0,1]==s[i,1,0]恒成立那么可以4->3
  设a[i,1]表示79都有偶数个，a[i,2]表示都有奇数个，a[i,3]表示奇偶性不同
  首先(1)+(2)得到
    s[i,1,0]+s[i,0,1]=a[i,3]=(s[i-1,1,0]+s[i-1,0,1])*3+s[i-1,0,0]*2+s[i-1,1,1]*2
    =a[i-1,3]*3+a[i-1,1]*2+a[i-1,2]*2
  所以总体来说递推关系有了：
    a[i,1]=a[i-1,1]*3+a[i,3]
    a[i,2]=a[i-1,2]*3+a[i,3]
    a[i,3]=a[i-1,3]*3+a[i-1,1]*2+a[i-1,2]*2
    初值a[1,1]=3; a[1,2]=0; a[1,3]=2;
    其实也可以一步到位直接来到这个递推式
  然后构造矩阵：
    a=[ 3 0 2 ]
    
      [ 3 0 2 ]
    b=[ 0 3 2 ]
      [ 1 1 3 ]
  那么目标矩阵ans=a*b^(n-1)，取ans[1,1]
  矩阵快速幂要用到关于b^(2^m)所以可以预处理一下加速
 */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 1000000007

struct Martrix {ll n,m,p[4][4];} s[62],a;
inline Martrix mul(Martrix a,Martrix b) {
  Martrix t; t.n=a.n; t.m=b.m;
  memset(t.p,0,sizeof(t.p));
  for (int i=1; i<=a.n; i++)
    for (int j=1; j<=a.m; j++)
      for (int k=1; k<=b.m; k++) {
	t.p[i][k]+=a.p[i][j]*b.p[j][k];
	t.p[i][k]%=MOD;
      }
  return t;
}
inline Martrix qm(ll b) {
  Martrix t; t.n=t.m=3;
  memset(t.p,0,sizeof(t.p)); for (int i=1; i<=t.n; i++) t.p[i][i]=1;
  for (int i=0; b; i++,b>>=1) if (b&1) t=mul(t,s[i]);
  return t;
}
int main() {
  s[0].n=s[0].m=3; a.n=1; a.m=3;
  s[0].p[1][1]=3; s[0].p[1][2]=0; s[0].p[1][3]=2;
  s[0].p[2][1]=0; s[0].p[2][2]=3; s[0].p[2][3]=2;
  s[0].p[3][1]=1; s[0].p[3][2]=1; s[0].p[3][3]=3;
  a.p[1][1]=3; a.p[1][2]=0; a.p[1][3]=2;
  for (int i=1; i<=61; i++) s[i]=mul(s[i-1],s[i-1]);
  int T; scanf("%d",&T);
  while (T--) {
    ll n; scanf("%I64d",&n);
    printf("%I64d\n",mul(a,qm(n-1)).p[1][1]);
  }
  return 0;
}

预处理b^(2^m)之后省掉了若干次累乘，矩阵压成3个计算上面从1*4*4掉到1*3*3，但仍然用了359ms实在是太慢了，目测矩阵快速幂不是正解/我哪个地方渣了，求正解T_T