2188 最长上升子序列(temp)

C++代码解决最长递增子序列问题
本文介绍了一段使用C++实现的代码,用于解决求解给定序列中从后往前和从前往后的最长递增子序列长度问题,并最终计算两者之和减一。代码涉及动态规划和双指针技巧。
#include<iostream>

using namespace std;

int len1[200010] , len2[200010] , a[200010];

int main()
{
	int i,n,j,k,max;
	cin>>n>>k;
	for(i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin>>a[i];
		len1[i] = 1;
		len2[i] = 1;
	}
	for(i = n-1; i >= k; i--)
	{
		max = 0;
		for(j = i+1; j <= n; j++)                      //j初始值!! 
		{
			if(a[i] < a[j] && len2[j] > max)           //大小!! 
			{
				max = len2[j];
			}
		}
		len2[i] = max + 1;
	}
/*	for(i = k; i <= n; i++)
	  cout<<len2[i]<<" ";
	cout<<endl;
*/
/*	for(i = k-1; i >= 1; i--)
	{
		max = len1[i];
		for(j = i+1; j <= k; j++)
		{
			if(a[i] < a[j] && max < len1[j])
			{
				max = len1[j];
			}
		}
		len1[i] += max;
	}
	cout<<len1[k]<<" "<<len2[k]<<endl;
*/
    for(i = 2; i <= k; i++)
    {
    	max = 0;
    	for(j = i-1; j >= 1; j--)
    	{
    		if(a[i] > a[j] && len1[j] > max)
    		{
    			max = len1[j];
    		}
    	}
    	len1[i] = max + 1;
    }
/*	for(i = 1; i <= k; i++)
	  cout<<len1[i]<<" ";
	cout<<endl;
    cout<<len1[k]<<" "<<len2[k]<<endl;
*/
	cout<<len1[k] + len2[k] - 1<<endl;
	return 0;
}



我  的思路:k后的最长,逆序 + k前的最长,升序

temp:两个点TLE,改进ing.........


************************************************************************************可供吐槽

### 最长公共上升子序列 (LCIS) 的动态规划解法 #### 定义与背景 最长公共上升子序列(Longest Common Increasing Subsequence, LCIS)是指给定两个序列 $X$ 和 $Y$,找到一个既是最长的又是严格递增的子序列,这个子序列同时属于 $X$ 和 $Y$。这个问题可以被看作是 **最长公共子序列** (LCS)和 **最长上升子序列** (LIS)问题的一个组合。 对于两个输入序列 $X = \{x_1, x_2, ..., x_m\}$ 和 $Y = \{y_1, y_2, ..., y_n\}$,目标是找出它们之间的 LCIS[^4]。 --- #### 动态规划的状态定义 设 $dp[i][j]$ 表示以 $X_i$ 结尾并与 $Y_j$ 对应的最长公共上升子序列的长度,则状态转移方程如下: $$ dp[i][j] = \begin{cases} 0 & 如果 i=0 或 j=0 \\ max(dp[k][l]) + 1 & 如果 X[i]=Y[j], 并且 k<i,l<j,X[k]<X[i]\\ dp[i][j-1] & 否则 \end{cases} $$ 其中,如果当前字符相等 ($X[i]==Y[j]$),我们需要进一步检查之前所有的可能匹配位置 $(k,l)$ 来确保它是递增的,并更新最大值。 --- #### 时间复杂度分析 上述方法的时间复杂度较高,因为每次都需要遍历之前的元素来验证是否构成递增关系。因此总时间复杂度为 $O(mn^2)$ 或更高取决于具体实现方式。为了优化此过程,可以通过记录前驱索引来减少重复计算,从而降低到更优的时间复杂度如 $O(nm)$。 以下是基于 Python 的一种高效实现版本: ```python def lcis(X, Y): m, n = len(X), len(Y) # 初始化 DP 数组以及用于追踪路径的 prev 数组 dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)] prev = [[None]*(n+1) for _ in range(m+1)] max_len = 0 pos = -1 for i in range(1,m+1): for j in range(1,n+1): if X[i-1] == Y[j-1]: temp_max = 0 for p in range(j): if Y[p-1] < Y[j-1] and dp[i-1][p] > temp_max: temp_max = dp[i-1][p] dp[i][j] = temp_max + 1 if dp[i][j] > max_len: max_len = dp[i][j] pos = j else: dp[i][j] = dp[i][j-1] result = [] while pos is not None: result.append(Y[pos-1]) next_pos = prev[m][pos] pos = next_pos return list(reversed(result)) # 测试数据 print(lcis([3,4,9,1],[5,3,8,9,10,2,1])) # 输出可能是 [3,9,1] ``` 注意这段代码中的 `prev` 跟踪数组是为了方便最后重建实际的 LCIS 序列。 --- #### 总结 通过动态规划的方法求解最长公共上升子序列问题时,关键是合理设计状态表示并有效利用历史信息完成最优决策。尽管基础版算法存在较高的时间开销,但借助额外存储结构能够显著提升效率至可接受范围之内。
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