[LeetCode OJ]Target Sum

问题描述：

You are given a list of non-negative integers, a1, a2, ..., an, and a target, S. Now you have 2 symbols + and -. For each integer, you should choose one from + and - as its new symbol.

Find out how many ways to assign symbols to make sum of integers equal to target S.

Example 1:

Input: nums is [1, 1, 1, 1, 1], S is 3. 
Output: 5
Explanation: 

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

There are 5 ways to assign symbols to make the sum of nums be target 3.

Note:

1. The length of the given array is positive and will not exceed 20.
2. The sum of elements in the given array will not exceed 1000.
3. Your output answer is guaranteed to be fitted in a 32-bit integer.

问题来源：Target Sum

解题分析：

题意是让在一个数组中的一些数之前添加“+”，其它的数之前添加“-”，从而让数组之和达到给定的数。

我们将添加“+”的数放入集合P，其它的数放入集合N，于是我们有：

1. sum(P) - sum(N) = target
2. sum(P) + sum(N) = sum

于是有 sum(P) = (target + sum) / 2 ，那么不妨这样理解题意，从一个数组中选定一些数，使它们的和为sum(P)，如此就变成了很经典的0/1背包问题，从一个n大小的背包中选出总和为sum(P)的方案个数。

状态表示：dp[i][j]代表前i个数中和为j的方案个数。

状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]，dp[0][0] = 1

返回结果：dp[n][target],n为数组大小，target为sum(P )。

如此时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(M*N)。

源代码：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (auto n : nums) {
        	sum += n;
        }
        /*判断数组中的元素的和是否能达到目标数*/
        if ((sum + S) % 2 == 1 || sum < S || S < -sum) {
        	return 0;
        }
        int target = (sum + S) / 2;
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        /*相同于初始化dp[0][0] = 1*/
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        	for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
        		/*利用滚动数组循环更新dp[j]，其效果等同于dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]
		         *空间复杂度优化至O(M)。
        		 */
        		dp[j] += dp[j - nums[i]];
        	}
        }
        return dp[target];
    }
};