01背包基本问题

假设我们面临一个问题

题目

题目描述

有一个容量为 m 的背包 , 有 n 件物品可以挑选 , 每个物品有 2 个属性 ：体积及价值 。

求背包能装下的最大价值是多少？

输入格式

第1行 2 个正整数 , n, m 代表物品个数与背包容量。

接下来 n 行每行 2 个正整数 ,  w[i]表示第 i 个物品的体积 , v[i]表示第 i 个物品的价值

输出格式

输出1个整数 , 即能装下的最大价值。

输入样例

4 6
1 4
2 6
3 12
2 7 

输出样例

23

数据范围

1 <= n,m <= 1000;1 <= w[i],v[i] <= 400

分析

假设有三个物品：吉他（价值15 重量1），笔记本（价值20 重量3），音响（价值30 重量4）

 并且背包容量是4

贪心算法

按照贪心的想法，要获得最大价值应该先拿价值最大的物品，也就是音响，价值30，但是如果这样一拿，背包就直接装满了，也就是说最终得到价值30的东西，但我们可以很快构造出价值35的组合：吉他+笔记本。所以，贪心算法是难以解决此问题的。

那有没有一种算法能快速解决此问题呢？

动态规划算法

我们可以创建一个数组F

//f[i][j]表示前i个物品,背包容量不超过j时的最大价值

用图像说明的话就是：

 那接下来的任务就是如何填充此表格了

首先看第一行，我们知道吉他的重量是1，价值是15，所以选取吉他并且重量不超过1的最大价值就是吉他的价值15。接下来一想，显然，这一行都是15

 再来看第二行，我们知道笔记本的重量是3，价值是20，那么看这一行的第一格，它的意义是前2个物品中，背包容量不超过1的最大价值。因为容量限制在1以内，所以只能是一个吉他，价值15

 第二格，表示前2个物品中，背包容量不超过2的最大价值。这时候我们有两个选择：

1. 不选择笔记本，最大价值就是前1个物品中背包容量不超过2的最大价值，就是15
2. 选择笔记本，最大价值就是前1个物品中（因为已经选了笔记本）背包容量不超过2-笔记本重量的最大价值

但是笔记本的重量是大于2的，所以只能选择方案1，价值还是15

接下来看第三格，同样，两个选择：

1.  不选择笔记本，最大价值就是前1个物品中背包容量不超过3的最大价值，就是15
2. 选择笔记本，最大价值就是前1个物品中（因为已经选了笔记本）背包容量不超过3-笔记本重量的最大价值

这是方案2就可行，因为笔记本重量=3，所以方案2所得的价值是20+前0个……，也就是20嘛

欸，那这时，20 > 15，所以这时方案2会优于方案1，选择方案2

因此，我们可以得到递推式

f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);

其中，f[i - 1][j]为不选第i件物品的最大价值，f[i - 1][j - w[i]] + v[i]为选第i件物品的最大价值

我们就是在这两个值中取较大的

所以表格剩下的也就按照这个递推式来进行即可

最终答案是表格的右下角也就是 f[n][m]，最大价值35

但在递推式中，需要注意的是，如果j < w[i]时，就只能是 f[i - 1][j]

我们还需要考虑初始值，其实这很容易，如果这一上来体积就大于背包容量了，那所拿的价值就是0，所以 f 数组中每一项初始值为0

此时，算法原理已经讲完了，而代码实现难度并不高，我们直接来看代码

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int w[1010],v[1010];
//w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的价值
int f[1010][1010];
//f[i][j]表示前i个物品重量不超过j的最大价值

int main() 
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> w[i] >> v[i];
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= m;j++)
		{
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if(j - w[i] >= 0)
				f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
	cout << f[n][m];
    return 0;
}

最后，如果你没有理解这个算法的话，我强烈建议你手动模拟一下整个过程，这样，你的理解程度会更深一些。

有兴趣的话可以看一下下一篇01背包一维优化