归并排序---天下大事,合久必分,分久必合

本文深入讲解归并排序的实现原理,包括其分治思想、核心逻辑及代码实现,并分析其时间与空间复杂度。

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1. 思路

归并排序基于分思想,即先把复杂的大问题分割成多个简单的小数据,然后逐个击破,从而达到解决问题的目的。他非常符合中国人的思维习惯:大事化小,小事化了。下面用一张图来描述这个过程

蓝色为分解为分解过程,绿色为合并过程

数组在分解过程中,几乎没有任何操作,所有的比较,交换操作都在合并过程中。我们在这里主要讨论一下合并的过程这是归并算法的核心逻辑部分。我们之前已经了解了插入算法,并且知道插入算法的特性是数组的有序性越好,插入算法性能越高对于两个有序的临近数组,用插入算法进行合并应该也会得到相对不错的性能。我们知道插入算法的时间复杂度为O(N2)。这里我们使用另一种思路,空间换时间使其合并的复杂度由O(N2)降低O(N)。我们可以创建与原序列等长的数组,来描述一下这个过程

1, 我们截取上图一部分作为开始,入下图

创建一个空数组

2,将需要合并的两个数组全部copy到新数组中

定义变量k指向合并后数组的第0位,i位第一个数组的起始位置,j为第二个数组的起始位置。然后比较[i] =0 [j]=2的大小,将[i]赋值到[k]中,同时i增长1k增长1,准备下一次计算

 

承上,继续比较[i] =1 [j] =2的大小,将[i]赋值到[k]中,同时i增长1k增长1,准备下一次计算

 

呈上,比较[i] =3[j]=2的大小,将[j]赋值到[k]中,同时j增长1k增长1,准备下一次计算

 

呈上,比较[i] =3[j]=5的大小,将[i]赋值到[k]中,同时i增长1k增长1,准备下一次计算

 

......

直到

一次合并完成。

 

2. 代码片段

① 归并排序堆外接口

 

② 归并排序递归函数

 

③ 合并核心逻辑

 

④ 执行过程

 

3.复杂度分析

        实际上我们上面已经分析过了,对于递归算法,分的过程几乎忽略不计,核心处理在归并部分。对于任何数组N合并的层数为logN,每一层的时间复杂度通过开辟一块与数组大小相等的空间达到了线性O(N)。所以综上时间复杂度为O(NlogN).空间复杂度O(N)

4.思考

        最后递归排序给我们的提示有两个。一个分治思想。对于比较庞大的复杂问题,分解成小的简单问题有助于问题的解决。第二个提示是,时间不够,空间来凑。很多问题都是没有最优解的。往往需要我们自己在实际情况下在时间,空间上权衡,从而达到目标。

### 归并排序算法详解 #### 基本原理 归并排序是一种基于分治法的高效稳定排序算法。该算法通过递归方式将输入数据分割成较小子序列,直至每个子序列仅含单个元素;随后逐步合并这些已排序的小部分,最终形成完全有序的整体列表[^1]。 具体而言,在每次迭代过程中执行以下操作: - **分解**: 将当前区间均匀划分为左右两半; - **治理(递归)**: 对上述所得每一段继续施行相同处理逻辑——即再次切割直至触底反弹(当只剩下一个数时自然就是有序状态),之后再自下而上地组合起来; - **合并**: 当所有细分工作完成以后,则需按照一定规则把相邻片段拼接在一起,并确保新产生的集合内部保持升序排列关系[^4]。 此过程可以形象化理解为先拆解后组装的过程,其中最重要的是如何有效地实施最后一步中的“合并”。 #### Python实现示例 下面给出了一段利用Python编写的简单版本归并排序代码: ```python def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr mid = len(arr) // 2 left_half = merge_sort(arr[:mid]) right_half = merge_sort(arr[mid:]) return merge(left_half, right_half) def merge(left, right): sorted_list = [] i = j = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]: sorted_list.append(left[i]) i += 1 else: sorted_list.append(right[j]) j += 1 sorted_list.extend(left[i:]) sorted_list.extend(right[j:]) return sorted_list ``` 这段脚本定义了一个`merge_sort()`函数用于启动整个流程以及辅助性的`merge()`用来负责实际的数据融合任务。每当遇到长度不超过1的数组就会直接返回原样作为基础情形终止条件之一;而对于更长的情况则会进一步切分下去直到满足停止标准为止[^2]。
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