《编程之美》中n&(n-1)的妙用

按位与: 

n&(n-1)作用：将n的二进制表示中的最低位为1的改为0，先看一个简单的例子：

n = 10101(二进制），则(n-1) = 10100 ==》n&(n-1) = 10100

可以看到原本最低位为1的那位变为0。

1、 判断一个数是否是2的方幂
解释((n & (n-1)) == 0)：

如果A&B==0，表示A与B的二进制形式没有在同一个位置都为1的时候。

不妨先看下n-1是什么意思。

   令:n=1101011000(二进制,十进制也一样)，则

    n-1=1101010111。

n&(n-1)=1101010000

由此可以得出，n和n-1的低位不一样，直到有个转折点，就是借位的那个点，从这个点开始到高位，n和n-1都一样，如果高位一样这就造成一个问题，就是n和n-1在相同的位上可能会有同一个1，从而使((n & (n-1)) != 0),如果想要

((n & (n-1)) == 0)，则高位必须全为0，这样就没有相同的1。

所以n是2的幂或0

代码:

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main(){
	int n = 0;
	printf("请输入一个数");
	scanf("%d", &n);
	if (n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0)){
		printf("这个数是2的方次幂\n");

	}
	else{
		printf("这个数不是2的方次幂\n");
	}
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果如下:

2. 求某一个数的二进制表示中1的个数

代码如下:

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int count_one_bits( int value){
	int count = 0;
	while (value)
	{
		count++;
		value = value&(value - 1);//n&(n-1)作用：将n的二进制表示中的最低位为1的改为0
	}
	
	return count;
}
int main(){
	int n = 0;
	printf("请输入一个数\n");
	scanf("%d",&n);
	int count = count_one_bits(n);
	printf("%d", count);
    system("pause");
	return 0;
}

运行结果如下:

3. 计算N!的质因数2的个数。
容易得出N!质因数2的个数f(n) = (n/2) + (n/4) + (n/8) + (n/16) + ...  
下面通过一个简单的例子来推导一下过程：N = 10101(二进制表示）
现在我们跟踪最高位的1，不考虑其他位假定为0，
则在
[N / 2]     01000
[N / 4]     00100
[N / 8]     00010
[N / 16]    00001
则所有相加等于01111 = 10000 - 1
由此推及其他位可得：(10101)!的质因数2的个数为10000 - 1 + 00100 - 1 + 00001 - 1 = 10101 - 3(二进制表示中1的个数)