【图分析】基础图论

本文介绍了图论的基本概念,包括点、边、路径、连通性、环、生成树、二分图和图的直径。还讨论了带有边容量的网络表示及其重要属性,如点的容量和图的度。

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(1)图(graph)G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)由点集VVV(nodes或vertices)和边集EEE(edges或arcs)组成。点表示实体对象,边表示实体对象之间的联系。
(2)假设n=∣V∣n=|V|n=V(点集中点的数量)和m=∣E∣m=|E|m=E(边集中边的数量)。图GGG的大小定义为为图包含的点的数量,即nnn。对于所有的v,w∈Vv,w\in Vv,wV(v,w)(v,w)(v,w)表示为从vvvwww的一条有向边(direct edge),{v,w}\{v,w\}{v,w}表示为从vvvwww之间的一条无向边(undirect edge)。如果E⊆{{v,w}∣v,w∈V}E\subseteq\{\{v,w\}|v,w\in V\}E{{v,w}v,wV},则称图GGG是无向图,如果E⊆{(v,w)∣v,w∈V}E\subseteq\{(v,w)|v,w\in V\}E{(v,w)v,wV},则称图GGG为有向图。
(3)一个连续的边的序列称为路径(path)或通路(walk),这条路径的长度(length)是构成它的边的数量。
(4)如果一条路径经过了GGG中的所有节点,并且仅仅经过一次,则称这条路径是node-simple的。如果一条路径经过了GGG中的所有边,并且仅仅经过一次,则称这条路径是edge-simple(或者是simple)的。
(5)对于GGG中所有的点对v,w∈Vv,w\in Vv,wV,如果都有一条路径连接vvvwww,则称GGG是连通的(connected),它是连通图。如果一条路径是simple路径,并且它所连接的起始点和终点都是同一个点,则称这条路径是一个环(cycle)或闭通路(closed walk)。
(6)图GGG的周长指的是GGG中最短的环的长度。如果图GGG是连通的,并且没有环,则称GGG是一棵树(Tree)。假设有一个图T=(V′,E′)T=(V',E')T=(V,E),其中V′=V,E′⊆EV'=V,E'\subseteq EV=V,EE,则称T是图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)的生成树(Spanning Tree)。
(7)如果GGG中的点集可以被分成两个点集V1V_1V1V2V_2V2,并且E⊆{{v,w}∣v∈V1,w∈V2}E\subseteq\{\{v,w\}|v\in V_1,w\in V_2\}E{{v,w}vV1,wV2},则称这个图是二分图(bipartite,也可以称作是二部图)。
(8)对于任意的节点对v,w∈Vv,w\in Vv,wVδ(v,w)\delta(v,w)δ(v,w)表示从vvvwww距离,即它们最短路径的距离。GGG的直径(diameter)表示为max{δ(v,w)∣v,w∈V}max\{\delta(v,w)|v,w\in V\}max{δ(v,w)v,wV}。如果{v,w}∈E\{v,w\}\in E{v,w}E,则称vvvwww的邻居(neighbor)。对于U⊆VU\subseteq VUVUUU的邻居表示为
Γ(U)={v∈V−U∣∃u∈U,u,v∈E} \Gamma(U)=\{v\in V-U|\exists u\in U,{u,v}\in E\} Γ(U)={vVU∣∃uU,u,vE}
vvv的邻居的数量称为它的度(degree),并表示为dvd_vdvGGG的度表示为d=max{dv∣v∈V}d=max\{d_v|v\in V\}d=max{dvvV},如果GGG中所有的节点都有相同的度,则称GGG为正则(regular)图。
(9)如果一个图族G={Gn∣n∈IN}\mathcal{G}=\{G_n|n\in \mathbb{IN}\}G={GnnIN}中的每一个图GnG_nGn的度满足d(n)d(n)d(n)这个公式,则G\mathcal{G}G的度也为d(n)d(n)d(n)
一个网络可由一个带有边容量(edge capacities)的这个属性的图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)表示,边容量由一个函数ccc给出,c(v,w):E→IR+c(v,w):E\rightarrow\mathbb{IR}^+c(v,w):EIR+。一个点v∈Vv\in VvV的容量是与它相连的边的边容量的和。
c(v)=∑w∈Vc(v,w)c(v)=\displaystyle\sum_{w\in V}c(v,w)c(v)=wVc(v,w)
VVV的自己UUU的容量为c(U)=∑u∈Uc(u)c(U)=\sum_{u\in U}c(u)c(U)=uUc(u)

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