树状数组的学习

最新推荐文章于 2024-06-09 13:25:57 发布

swm8023

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文章标签：存储 c 数据结构编程优化扩展

本文深入讲解了树状数组的基本概念及其实现原理，探讨了如何利用树状数组高效地完成区间求和等操作，并对比了树状数组与线段树的特点。

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今天学习了一下树状数组,它的主要作用就是对于连续区间值和查找,虽然修改的复杂度为logN,但是求a[1]~a[n]的和的时间复杂度也为logN.相对于线段树来说,时间复杂度相同,而空间复杂度更低,而且编程难易度也较线段树简单,缺点就是适用范围没有线段树广.典型的例题可以看一下POJ的2352.

以下文章转自http://www.cnblogs.com/yykkciwei/archive/2009/05/08/1452889.html

先废话一下.

嗯嗯从今天开始从基础一步一步开始追逐我的梦想!

今天先来讨论一下树状数组.

问题提出：已知数组a[],元素个数为n,现在更改a中的元素,要求得新的a数组中i到j区间内的和(1<=i<=j<=n).

思考：对于这个问题,我们可以暴力地来解决,从a[i]一直累加到a[j],最坏的情况下复杂度为O(n),对于m次change&querry,合起来的复杂度为O(m*n),在n或m很大的情况下,这样的复杂度是让人无法忍受的.另外,如果没有元素的变更,我们完全可以存储sum[1,k](k=1,2,……),然后对任意给定的查找区间[i,j],都可以方便的用ans=sum[1,j]-sum[1,i-1],当然这只是没有元素改变的情况下的比较优化的解法.那么对于有元素变更的问题是否有更高效的方法呢?(废话!没有我还写啥?!)可以想一下,每次更改的元素是比较少的,有时候甚至每次只改变一个元素,但是在用暴力方法求区间和的时候,却对区间内所有的元素都累加了一遍,这样其实造成了许多无谓的运算.这时候也许会想到如果能把一些结果存起来会不会减少很多运算?答案是肯定的,但问题是怎么存,存什么?如果存任意区间的话,n比较大的时候不但内存吃不消,而且存储的量太大,不易更改,反而得不偿失;那么也许可以考虑存储特定的一些区间(比如说线段树,其实现在讨论的问题用线段树完全可以解,以后再详细写线段树).那么现在重新回过头来,看下这个问题,我们已经确定了要存储一些特定区间sum的想法,接下来我们要解决的无非是两个问题:1、减少更改元素后对这些区间里的sum值的更改时间.2、减少查找的时间.

好了废话了这么半天,无非是想让自己以及看到的人明白为什么要用树状数组.

接下来正式入题.

首先我们可以借鉴元素不变更问题的优化方法,先得到前i-1项之和and前j项之和,以s[i]表示前i项之和,那么sum[i,j]=s[j]-s[i-1].那么现在的问题已经转化为求前i项之和了.另外,我们已经确定要存储一些特定区间的和,现在就要来揭示这些特定的区间究竟指什么.

在文字说明之前先引入一个非常经典的,在网上找到的树状数组文章里几乎都要出现的一个图片

从图中不难发现,c[k]存储的实际上是从k开始向前数k的二进制表示中右边第一个1所代表的数字个元素的和(这么说可能有点拗口,令lowbit为k的二进制表示中右边第一个1所代表的数字,然后c[k]里存的就是从a[k]开始向前数lowbit个元素之和)这么存有什么好处呢?无论是树状数组还是线段树,都用到了分块的思想,而树状数组采用这样的存储结构我想最主要的还是这样方便计算,我们可以用位运算轻松地算出lowbit.分析一下这样做的复杂度:对于更改元素来说,如果第i个元素被修改了,因为我们最终还是要求和,所以可以直接在c数组里面进行相应的更改,如图中的例子,假设更改的元素是a[2],那么它影响到得c数组中的元素只有c[2],c[4],c[8],我们只需一层一层往上修改就可以了,这个过程的最坏的复杂度也不过O(logN);对于查找来说,如查找s[k],只需查找k的二进制表示中1的个数次就能得到最终结果,比如查找s[7],7的二进制表示中有3个1,也就是要查找3次,到底是不是呢,我们来看上图,s[7]=c[7]+c[6]+c[4],可能你还不知道怎么实现这个过程.

还以7为例,二进制为0111,右边第一个1出现在第0位上,也就是说要从a[7]开始向前数1个元素(只有a[7]),即c[7];

然后将这个1舍掉,得到6,二进制表示为0110,右边第一个1出现在第1位上,也就是说要从a[6]开始向前数2个元素(a[6],a[5]),即c[6];

然后舍掉用过的1,得到4,二进制表示为0100,右边第一个1出现在第2位上,也就是说要从a[4]开始向前数4个元素(a[4],a[3],a[2],a[1]),即c[4].

代码

  int lowbit(int x)//计算lowbit
{
    return x&(-x);
}
void add(int i,int val)//将第i个元素更改为val
{
    while(i<=n)
    {
        c[i]+=val;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int sum(int i)//求前i项和
{
    int s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return s;
}

以下文章转自http://dongxicheng.org/structure/binary_indexed_tree/

1、概述

树状数组(binary indexed tree)，是一种设计新颖的数组结构，它能够高效地获取数组中连续n个数的和。概括说，树状数组通常用于解决以下问题：数组{a}中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续几个数的和？

2、树状数组基本操作

传统数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。树状数组通过将线性结构转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，而树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，大大提高了整体效率。

给定序列（数列）A，我们设一个数组C满足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k为i在二进制下末尾0的个数，i从1开始算！

则我们称C为树状数组。

下面的问题是，给定i，如何求2^k?

答案很简单：2k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面进行解释：

数组C的具体含义如下图所示：

当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

树状数组能快速求任意区间的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(j-1)。

下面给出树状数组的C语言实现：

 
        //求2^k
       
        int 
        lowbit(
        int 
        t)
       
        {
       
        return 
        t & ( t ^ ( t - 1 ) );
       
        }
       
        //求前n项和
       
        int 
        sum(
        int 
        end)
       
        {
       
        int 
        sum = 0;
       
        while
        (end > 0)
       
        {
       
        sum += in[end];
       
        end -= lowbit(end);
       
        }
       
        return 
        sum;
       
        }
       
        //增加某个元素的大小
       
        void 
        plus(
        int 
        pos, 
        int 
        num)
       
        {
       
        while
        (pos <= n)
       
        {
       
        in[pos] += num;
       
        pos += lowbit(pos);
       
        }
       
        }