c++树状数组

源代码

基础知识

题目描述

当我们解决以下问题时…
有一串数据a每次有两个操作

  1. 对a[l]~a[r]求和
  2. 将a[l]+r
    如果用暴力求解那么:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[1000000]; 
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	int c,l,r;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&c,&l,&r);
		if(c==0)a[l]+=r;
		else
		{
			c=0;
			for(int i=l;i<=r;i++)
				c+=a[i];
			printf("%d\n",c);
		}
	}
	return 0;
}

样例

输入

4 5
1 2 3 4
0 1 1
0 2 2
0 4 3
0 2 3
1 2 3

输出

10

优化

这种垃圾代码肯定得优化呀
于是便有了…
树状数组示意图
我们发现

  • B[1] -> (000) = A[1]
  • B[2] -> (000) = A[1]+A[2]
  • B[3] -> (000) = A[3]
  • B[4] -> (000) = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
  • B[5] -> (000) = A[5]
  • B[6] -> (000) = A[5]+A[6]
  • B[7] -> (000) = A[7]
  • B[8] -> (000) = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]

B[i]=A[i-2k+1]+A[i-2k+2]+…A[i]k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度)例如i=8时,k=3;

实现函数lowbit(给定i求2k)

int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}

实现函数update(将x+y)

void update(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]+=y;
	}
}

实现求和sum(l~r求和)

int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a[i];
	}
	return ret;
}
int sum(int l,int r)//l~r求和 
{
	return sum(r)-sum(l-1);
}

树状数组优化的代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000000
int a[MAXN],n,m;

int lowbit(int i);
void update(int x,int y);
int sum(int l,int r);

int main()
{
	int temp;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&temp);
		update(i,temp);
	}
	int c,l,r;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&c,&l,&r);
		if(c==0)update(l,r);
		else
		{
			printf("%d\n",sum(l,r));
		}
	}
	return 0;
}
int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}
void update(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]+=y;
	}
}
int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a[i];
	}
	return ret;
}
int sum(int l,int r)//l~r求和 
{
	return sum(r)-sum(l-1);
}

树状数组的扩展

当我们想要使用树状数组解决2维3维的问题时(怎么办?
仔细想一想我们用一维for循环遍历一维数组二维for循环遍历二维数组
那我们就可以化一维转二维了

实现函数update(将[1,1]~[x,y]+z)
实现函数update(将[x1,y1]~[x2,y2]+z)

void update(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]+=y;
	}
}

实现求和sum(l~r求和)

int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a[i];
	}
	return ret;
}
int sum(int l,int r)//l~r求和 
{
	return sum(r)-sum(l-1);
}

题目解法

1.数列操作

题目描述
原题地址
给定n个数列,规定有两种操作,一是修改某个元素,二是求子数列[a,b]的连续和。数列元素个数最多10万个,询问操作最多10万次。
输入
第一行2个整数n,m(n表示输入n个数,m表示m操作)

第二行n个整数

接下来m行,每行三个数k,a,b(k=0,表示求子数列[a,b]的连续和;k=1,表示第a个数加b)。
输出
若干行,表示k=0时,对应子数列[a,b]连续和。
样例输入

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

样例输出

11
30
35

绝对模板题没啥好说上代码
解法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000000
int a[MAXN],n,m;

int lowbit(int i);
void update(int x,int y);
int sum(int l,int r);

int main()
{
	int temp;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&temp);
		update(i,temp);
	}
	int c,l,r;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&c,&l,&r);
		if(c==1)update(l,r);
		else
		{
			printf("%d\n",sum(l,r));
		}
	}
	return 0;
}
int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}
void update(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]+=y;
	}
}
int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a[i];
	}
	return ret;
}
int sum(int l,int r)//l~r求和 
{
	return sum(r)-sum(l-1);
}

2.数星星 Stars

题目描述

原题连接
天空中有一些星星,这些星星都在不同的位置,每个星星有个坐标。如果一个星星的左下方(包含正左和正下)有 k 颗星星,就说这颗星星是 k 级的。
数星星图片
例如,上图中星星 5 是 3 级的(1,2,4 在它左下),星星 2,4 是 1 级的。例图中有 1 个 0 级,2 个 1 级,1 个 2 级,1 个 3 级的星星。

给定星星的位置,输出各级星星的数目。

一句话题意:给定 n 个点,定义每个点的等级是在该点左下方(含正左、正下)的点的数目,试统计每个等级有多少个点。

输入
第一行一个整数 N,表示星星的数目;

接下来 N 行给出每颗星星的坐标,坐标用两个整数 x,y表示;

不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出,y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。

输出
N 行,每行一个整数,分别是 0 级,1 级,2 级,……,N−1 级的星星的数目。

输入样例

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

输出样例

1
2
1
1
0

提示
数据范围与提示:
对于全部数据,1≤N≤1.5×104,0≤x,y≤3.2×104
思路
刚看到此题太简单了二维树状数组!但是内存明显超限
1.因为y是从小到大给出的 -> 所以大的必定包含小的
2.且x也是从小到大给出的 -> 所以小的不必考虑大的
那么设a[i]表示在这颗星星之前所有X坐标为i的星星则sum(x)即为这个星星的级数
解法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100000
int a[MAXN],n,ans[MAXN];

int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}
void update(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=MAXN;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]+=y;
	}
}
int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a[i];
	}
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		ans[sum(x+1)]++;
		update(x+1,1);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}

3.校门外的树

题目描述
原题连接
校门外有很多树,学校决定在某个时刻在某一段种上一种树,保证任一时刻不会出现两段相同种类的树,现有两种操作:
K=1,读入 l,r 表示在 l 到 r 之间种上一种树,每次操作种的树的种类都不同;
K=2,读入 l,r 表示询问 l 到 r 之间有多少种树。
注意:每个位置都可以重复种树。

输入
第一行 n,m 表示道路总长为 n,共有 m 个操作;
接下来 m 行为 m 个操作。
输出
对于每个 k=2 输出一个答案。
输入样例

5 4
1 1 3
2 2 5
1 2 4
2 3 5

输出样例

1
2

提示
数据范围与提示:
对于 20% 的数据,1≤n,m≤100;
对于 %60% 的数据,1≤n≤103,1≤m≤5×104
对于 %100% 的数据,1≤n,m≤5×104 ,保证 l,r>0。
思路
在这里插入图片描述
解法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000000
int a1[MAXN],a2[MAXN],n,m;

int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}
void update1(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a1[i]+=y;
	}
}
void update2(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a2[i]+=y;
	}
}
int sum1(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a1[i];
	}
	return ret;
}
int sum2(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a2[i];
	}
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int x,y,z;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		if(x==1)
		{
			update1(y,1);
			update2(z,1); 
		}
		else
		{
			printf("%d\n",sum1(z)-sum2(y-1));
		}
	}
	return 0;
}

4.清点人数

题目描述
原题链接
NK 中学组织同学们去五云山寨参加社会实践活动,按惯例要乘坐火车去。由于 NK 中学的学生很多,在火车开之前必须清点好人数。

初始时,火车上没有学生。当同学们开始上火车时,年级主任从第一节车厢出发走到最后一节车厢,每节车厢随时都有可能有同学上下。年级主任走到第 m 节车厢时,他想知道前 m 节车厢上一共有多少学生,但是他没有调头往回走的习惯。也就是说每次当他提问时,m 总会比前一次大。

输入
第一行两个整数 n,k,表示火车共有 n 节车厢以及 k 个事件。

接下来有 k 行,按时间先后给出 k 个事件,每行开头都有一个字母 A,B 或 C。

如果字母为 A,接下来是一个数 m,表示年级主任现在在第 m 节车厢;

如果字母为 B,接下来是两个数 m,p,表示在第 m 节车厢有 p 名学生上车;

如果字母为 C,接下来是两个数 m,p,表示在第 m 节车厢有 p 名学生下车。

学生总人数不会超过 105

输出
对于每个 A ,输出一行,一个整数,表示年级主任的问题的答案。

输入样例

10 7
A 1
B 1 1
B 3 1
B 4 1
A 2
A 3
A 10

输出样例

0
1
2
3

提示
数据范围与提示:

对于 30% 的数据,1≤n,k≤104 ,至少有 3000 个 A;

对于 100% 的数据,1≤n≤5×105,1≤k≤105 ,至少有 3×104 个 A。
思路
没啥好说模板
解法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000000
int a[MAXN],n,m;

int lowbit(int i);
void update(int x,int y);
int sum(int l);

int main()
{
	int temp;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int l,r;
	char c;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",&c);
		if(c=='A')
		{
			scanf("%d",&l);
			printf("%d\n",sum(l));
		}
		else if(c=='B')
		{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			update(l,r);
		}
		else
		{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			update(l,-r);
		}
	}
	return 0;
}
int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}
void update(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]+=y;
	}
}
int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret+=a[i];
	}
	return ret;
}

5.简单题

题目描述
原题链接
有一个 n 个元素的数组,每个元素初始均为 0。有 m 条指令,要么让其中一段连续序列数字反转——0 变 1,1 变 0(操作 1),要么询问某个元素的值(操作 2)。

例如当 n=20 时,10 条指令如下:

操作回答操作后的数组
1 1 10N / A11111111110000000000
2 61111111​11110000000000
2 120111111111100​00000000
1 5 12N / A11110000001100000000
2 60111100​00001100000000
2 150111100000011000​00000
1 6 16N / A11110111110011110000
1 11 17N / A11110111111100001000
2 121111101111111​00001000
2 61111101​11111100001000

输入
第一行包含两个整数 n,m,表示数组的长度和指令的条数;

以下 m 行,每行的第一个数 t 表示操作的种类:

若 t=1,则接下来有两个数 L,R,表示区间 [L,R] 的每个数均反转;

若 t=2,则接下来只有一个数 i,表示询问的下标。

输出
每个操作 2 输出一行(非 0 即 1),表示每次操作 2 的回答。

输入样例

20 10
1 1 10
2 6
2 12
1 5 12
2 6
2 15
1 6 16
1 11 17
2 12
2 6

输出样例

1
0
0
0
1
1

提示
数据范围与提示:

对于 50% 的数据,1≤n≤103,1≤m≤104

对于 100% 的数据,1≤n≤105,1≤m≤5×105,保证 L≤R。
思路
题目很有特点都是(1,0)这让我们想起(|,&,^,!)等操作
这到题最大的特点就是每次批量更改,这就让我们想起了(校门外的树)我们同样借助这种思想
即以一次取反为列开始一次取反为结束中途用^计算和,则a[i]~a[1]的和表示为此时的第i个数的值
简单改改就可以了
解法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000000
int a[MAXN],n,m;

int lowbit(int i);
void update(int x);
int sum(int l);

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int c,l,r;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&c);
		if(c==1)
		{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			update(l);
			update(r+1);
		}
		else
		{
			scanf("%d",&l);
			printf("%d\n",sum(l));
		}
	}
	return 0;
}
int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}
void update(int x)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		a[i]=!a[i];
	}
}
int sum(int l)//1~l求和
{
	int ret=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		ret=ret^a[i];
	}
	return ret;
}

6.打鼹鼠

【题目描述】
原题链接
这是一道模板题。

给出一个 n×m 的零矩阵 A,你需要完成如下操作:

1xyk:表示元素 Ax,y自增 k;

2abcd:表示询问左上角为 (a,b),右下角为 (c,d) 的子矩阵内所有数的和。

【输入】
输入的第一行有两个正整数 n,m;

接下来若干行,每行一个操作,直到文件结束。

【输出】
对于每个 2 操作,输出一个整数,表示对于这个操作的回答。

【输入样例】

2 2
1 1 1 3
1 2 2 4
2 1 1 2 2

【输出样例】

7

【提示】
数据范围与提示:

对于 10% 的数据,n=1;

对于另 10% 的数据,m=1;

对于全部数据,1≤n,m≤212,1≤x,a,c≤n,1≤y,b,d≤m,∣k∣≤105 ,保证操作数目不超过 3×105 ,且询问的子矩阵存在。
思路
多维树状数组模板题
解法
特别要注意坐标可能为零
且求sum的时候还有-1所以(1处)要加二

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXN 5005
long long a[MAXN][MAXN],n,m;

inline int lowbit(int i);
inline void update(int x,int y,int z)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	{
		for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
		{
			a[i][j]+=z;
		}
	}
}
inline long long sum(int x,int y)//1~l求和
{
	long long ret=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
	{
		for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
		{
			ret+=a[i][j];
		}
	}
	return ret;
}
inline long long sum(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	n+=2,m+=2;//(1处)
	int temp,x1,y1,x2,y2;
	while(scanf("%d",&temp)!=EOF)
	{
		if(temp==1)
		{
			scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&temp);
			update(x1+2,y1+2,temp);//(1处)
		}
		else
		{
			scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
			printf("%lld\n",sum(x1+2,y1+2,x2+2,y2+2));//(1处)
		}
	}
	return 0;
}
inline int lowbit(int i)
{
	return i&(-i);//背下来就好
}

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